Случайные величины. Случайная величина и ее основные характеристики
Понятие случайной величины
Случайной называется величина, которая в результате испытаний принимает то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств. В отличие от случайного события, являющегося качественной характеристикой случайного результата испытания, случайная величина характеризует результат испытания количественно. Примерами случайной величины могут служить размер обрабатываемой детали, погрешность результата измерения какого-либо параметра изделия или среды. Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться на практике, можно выделить два основных типа: дискретные и непрерывные.
Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или бесконечное счетное множество значений. Например: частота попаданий при трех выстрелах; число бракованных изделий в партии из n штук; число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток; число отказов элементов прибора за определенный промежуток времени при испытании его на надежность; число выстрелов до первого попадания в цель и т. д.
Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например: ошибка при измерении дальности радиолокатора; время безотказной работы микросхемы; погрешность изготовления деталей; концентрация соли в морской воде и т. д.
Случайные величины обычно обозначают буквами X,Y и т. д., а их возможные значения - x,y и т. д. Для задания случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появиться те или иные ее значения в результате испытаний при одних и тех же условиях, т. е. нужно задать вероятности их появления. Совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.
Законы распределения случайной величины
Законом распределения случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения. Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит то того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми . Несколько случайных величин называются взаимно независимыми , если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Закон распределения случайной величины может быть задан в виде таблицы, функции распределения либо плотности распределения. Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания закона распределения случайной величины.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline{X}&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_{n-1}&x_n\\\hline{P}&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_{n-1}&p_n\\\hline\end{array}
Табличное задание закона распределения можно использовать только для дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений. Табличная форма задания закона случайной величины называется также рядом распределения.
Для наглядности ряд распределения представляют графически. При графическом изображении в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие вероятности. Точки (x_i,p_i) , соединенные прямолинейными отрезками, называют многоугольником распределения (рис. 5). Следует помнить, что соединение точек (x_i,p_i) выполняется только с целью наглядности, так как в промежутках между x_1 и x_2 , x_2 и x_3 и т. д. не существует значений, которые может принимать случайная величина X , поэтому вероятности её появления в этих промежутках равны нулю.
Многоугольник распределения, как и ряд распределения, является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины. Они могут иметь различную форму, однако все обладают одним общим свойством: сумма ординат вершин многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице. Это свойство следует из того, что все возможные значения случайной величины X образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей которых равна единице.
Функция распределения вероятностей и ее свойства
Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают F(x)
. Функция распределения
определяет вероятность того, что случайная величина X
принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа x
, т. е. F(x)=P\{X
Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку X оси Ox (рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на оси, то функция распределения F(x) - это вероятность того, что случайная точка X в результате испытания попадет левее точки x .
Для дискретной случайной величины X , которая может принимать значения , функция распределения имеет вид
F(x)=\sum\limits_{x_i Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8). Рассмотрим общие свойства функций распределения. Свойство 1.
Функция распределения - неотрицательная, функция, заключенная между нулем и единицей: 0\leqslant{F(x)}\leqslant1
Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения F(x)
определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что X Свойство 2.
Вероятность попадания случайной величины в интервал [\alpha;\beta)
равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е. P\{\alpha\leqslant{X}<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)
Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Свойство 3.
Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. F(\beta)\geqslant{F(\alpha)}
. Свойство 4.
На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности - единице, т. е. \lim_{x\to-\infty}F(x)=0
и \lim_{x\to+\infty}F(x)=1
. Пример 1.
Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением F(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 Найти коэффициент a
и построить график F(x)
. Определить вероятность того, что случайная величина X
в результате опыта примет значение на интервале
. Решение.
Так как функция распределения непрерывной случайной величины X
непрерывна, то при x=3
получим a(3-1)^2=1
. Отсюда a=\frac{1}{4}
. График функции F(x)
изображен на рис. 9. Исходя из второго свойства функции распределения, имеем P\{1\leqslant{X}<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.
Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности, или дифференциальной функцией распределения случайной величины. Плотность распределения
f(x)
равна производной от функции распределения F(x)
, т. е. F(x)=F"(x).
Смысл плотности распределения f(x)
состоит в том, что она указывает на то, как часто случайная величина X
появляется в некоторой окрестности точки x
при повторении опытов. Кривая, изображающая плотность распределения f(x)
случайной величины, называется кривой распределения.
Рассмотрим свойства плотности распределения.
Свойство 1.
Плотность распределения неотрицательна, т. е. F(x)\geqslant0.
Свойство 2.
Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от -\infty
до x
, т. е. F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(x)\,dx.
Свойство 3.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины X
на участок (\alpha;\beta)
равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е. P\{\alpha\leqslant{X}\leqslant\beta\}=\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(x)\,dx.
Свойство 4.
Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице: \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.
Пример 2.
Случайная величина X
подчинена закону распределения с плотностью F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\a\sin{x},&0 Определить коэффициент а; построить график плотности распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок от 0
до \frac{\pi}{2}
определить функцию распределения и построить ее график. \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=a\int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx=\Bigl.{-a\cos{x}}\Bigl|_{0}^{\pi}=2a.
Учитывая свойство 4 плотности распределения, находим a=\frac{1}{2}
. Следовательно, плотность распределения можно выразить так: F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0 График плотности распределения на рис. 10. По свойству 3, имеем P\!\left\{0 Для определения функции распределения воспользуемся свойством 2: F(x)=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{x}\sin{x}\,dx=\Bigl.{\-\frac{1}{2}\cos{x}}\Bigl|_{0}^{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos{x}.
Таким образом, имеем F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0 График функции распределения изображен на рис. 11 Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины.
Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков, мода и медиана. Математическое ожидание иногда называют средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случайную величину X
, принимающую значения x_1,x_2,\ldots,x_n
с вероятностями соответственно p_1,p_2,\ldots,p_n
Определим среднюю арифметическую значений случайной величины, взвешенных по вероятностям их появлений. Таким образом, вычислим среднее значение случайной величины, или ее математическое ожидание M(X)
: M(X)=\frac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}p_i}.
Учитывая, что \sum\limits_{i=1}^{n}p_i=1
получаем M(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i}.~~~~~~~(4.1)
Итак, математическим ожиданием
дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности. Для непрерывной случайной величины математическое ожидание M(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
X
, возможные значения которой принадлежат отрезку
, M(X)=\int\limits_{a}^{b}xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)
Используя функцию распределения вероятностей F(x)
, математическое ожидание случайной величины можно выразить так: M(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x\,d(F(x)).
Свойство 1.
Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Свойство 2.
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)M(Y).
Свойство 3.
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(c)=c.
Свойство 4.
Постоянный множитель случайной величины можно вынести за знак математического ожидания: M(cX)=cM(X).
Свойство 5.
Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: M(X-M(X))=0.
Пример 3.
Найти математическое ожидание количества бракованных изделий в выборке из пяти изделий, если случайная величина X (количество бракованных изделий) задана рядом распределения. \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline{X}&0&1&2&3&4&5\\\hline{P}&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\!0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end{array}
Решение.
По формуле (4.1) находим M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\!0010
=1,\!25.
Модой M_0
дискретной случайной величины
называется наиболее вероятное ее значение. Модой M_0
непрерывной случайной величины
называется такое ее значение, которому соответствует наибольшее значение плотности распределения. Геометрически моду интерпретируют как абсциссу точки глобального максимума кривой распределения (рис. 12). Медианой M_e
случайной величины
называется такое ее значение, для которого справедливо равенство P\{X С геометрической точки зрения медиана - это абсцисса точки, в которой площадь фигуры, ограниченной кривой распределения вероятностей и осью абсцисс, делится пополам (рис. 12). Так как вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице, то функция распределения в точке, соответствующей медиане, равна 0,5, т. е. F(M_e)=P\{X С помощью дисперсии и среднеквадратического отклонения можно судить о рассеивании случайной величины вокруг математического ожидания. В качестве меры рассеивания случайной величины используют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, которое называют дисперсией случайной величины
X
и обозначают D[X]
: D[X]=M((X-M(X))^2).
Для дискретной случайной величины дисперсия равна сумме произведений квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания на соответствующие вероятности: D[X]=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-M(X))^2p_i.
Для непрерывной случайной величины, закон распределения которой задан плотностью распределения вероятности f(x)
, дисперсия D[X]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-M(X))^2f(x)\,dx.
Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины и поэтому ее нельзя интерпретировать геометрически. Этих недостатков лишено среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое вычисляется по формуле \sigma=\sqrt{D[X]}.
Свойство 1.
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D=D[X]+D[Y].
Свойство 2.
Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X
и квадратом ее математического ожидания: D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).
Свойство 3.
Дисперсия постоянной величины равна нулю: D[c]=0.
Свойство 4.
Постоянный множитель случайной величины, можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D=c^2D[X].
Свойство 5.
Дисперсия произведения двух независимых случайных величин X
и Y
определяется по формуле D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].
Пример 4.
Вычислить дисперсию количества бракованных изделий для распределения примера 3. Решение.
По определению дисперсии Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины. Начальным моментом q-го порядка
случайной величины называют математическое ожидание величины X^q
: Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка - дисперсию случайной величины. Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии
): A_s=\frac{\mu_{{}_3}}{\sigma^3}.
Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой островершинности или плосковершинности распределения (эксцесс
): E=\frac{\mu_{{}_4}}{\sigma^4}-3.
Пример 5.
Случайная величина X
задана плотностью распределения вероятностей F(x)=\begin{cases}0,&x<0;\\ax^2,&0 Найти коэффициент a
, математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс. Решение.
Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна \int\limits_{0}^{2}f(x)\,dx=a\int\limits_{0}^{2}x^2\,dx=\left.{a\,\frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{2}=\frac{8}{3}\,a.
Учитывая, что эта площадь должна быть равна единице, находим a=\frac{3}{8}
. По формуле (4.2) найдем математическое ожидание: M(X)=\int\limits_{0}^{2}xf(x)\,dx=\frac{3}{8}\int\limits_{0}^{2}x^3\,dx=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^4}{4}}\right|_{0}^{2}=1,\!5.
Дисперсию определим по формуле (4.3). Для этого найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины: M(X^2)=\int\limits_{0}^{2}x^2f(x)\,dx=\frac{3}{8}\int\limits_{0}^{2}x^4\,dx=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}}\right|_{0}^{2}=2,\!4.
Таким образом, \begin{aligned}D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\\ \sigma(X)&=\sqrt{D(X)}=\sqrt{0,\!15}\approx0,\!3873.\end{aligned}
Используя начальные моменты, вычисляем центральные моменты третьего и четвертого порядка: \begin{aligned}\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\int\limits_0^2{x^3f(x)\,dx}=\frac{3}{8}\int\limits_0^2{x^5\,dx}=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^6}{6}}\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2{x^4f(x)\,dx}=\frac{3}{8}\int\limits_0^2{x^6\,dx}=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^7}{7}}\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4+2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\\&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4=0,\!0696.\\ A_s&=\frac{\mu_3}{\sigma^3}=-\frac{0,\!05}{(0,\!3873)^3}=-0,\!86.\\ E&=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3=\frac{0,\!0696}{(0,\!3873)^4}-3=-0,\!093.\end{aligned}
Пусть x_1,x_2,\ldots,x_n
- значения случайной величины X
, полученные при n
независимых испытаниях. Математическое ожидание случайной величины равно M(X)
, а ее дисперсия D[X]
. Эти значения можно рассматривать как независимые случайные величины X_1,X_2,\ldots,X_n
с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями: M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.
Средняя арифметическая этих случайных величин \overline{X}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n}.
Используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины, можно записать: \begin{aligned}M(\overline{X})&=M\!\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline{X}]&=D\!\left[\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n}D=\frac{D[X]}{n}.~~~~~~~(4.5)\end{aligned}
Случайная величина
- это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Формальное математическое определение следующее: пусть - вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на . Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается её распределением. Определение [править]
Пространство элементарных событий [править]
Пространство элементарных событий в случае бросания игральной кости Если бросается игральная кость, то в результате верхней гранью может оказаться одна из шести граней с количеством точек от одной до шести. Выпадение какой-либо грани в данном случае в теории вероятностей называется элементарным событием , то есть Множество всех граней Алгебра событий [править]
Множество случайных событий образует алгебру событий , если выполняются следующие условия: Если вместо третьего условия удовлетворяет другому условию: объединение счётного подсемейства из также принадлежит , то множество случайных событий образует σ-алгебру событий. Алгебра событий является частным случаем σ-алгебры множеств. Самая маленькая среди всех возможных -алгебр, элементами которой являются все интервалы на вещественной прямой, называется борелевской σ-алгеброй на множестве вещественных чисел . Вероятность [править]
Если каждому элементарному событию поставить в соответствие число , для которого выполняется условие: то считается, что заданы вероятности элементарных событий . Вероятность события, как счётного подмножества пространства элементарных событий, определяется как сумма вероятностей тех элементарных событий, которые принадлежат этому событию. Требование счётности важно, так как, иначе сумма будет не определена. Рассмотрим пример определения вероятности различных случайных событий. Например, если событие является пустым множеством, то его вероятность равна нулю : Если событием является пространство элементарных событий, то его вероятность равна единице: Вероятность события (подмножества пространства элементарных событий) равна сумме вероятностей тех элементарных событий, которые включает в себя рассматриваемое событие. Определение случайной величины [править]
Случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на . Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом . Функция называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел и множество событий , таких что Примеры [править]
равно среднему арифметическому всех принимаемых значений. то есть математическое ожидание не определено. Классификация [править]
Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные). На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная). С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно. Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определёнными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случайными величинами. При этом расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины. Методы описания [править]
Частично задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения F(x) является вероятностью того, что значения случайной величины меньше вещественного числа x. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал
Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например, См. также [править]
Примечания [править]
Литература [править]
Одним из
важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной
величине. Случайной величиной называется величина,
которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем
неизвестно заранее, какое именно. Примеры
случайных величин: 1) число
попаданий при трех выстрелах; 2) число вызовов,
поступавших на телефонную станцию за сутки; 3) частота
попадания при 10 выстрелах. Во всех трех
приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные,
изолированные значения, которые можно заранее перечислить. Так, в примере
1) эти значения: в примере 2): в примере 3) 0; 0,1; 0,2; …; 1,0. Такие
случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения,
которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными
случайными величинами. Существуют
случайные величины другого типа, например: 1) абсцисса
точки попадания при выстреле; 2) ошибка
взвешивания тела на аналитических весах; 3) скорость
летательного аппарата в момент выхода на заданную высоту; 4) вес наугад
взятого зерна пшеницы. Возможные
значения таких случайных величин не отделены друг от друга; они непрерывно
заполняют некоторый промежуток, который иногда имеет резко выраженные границы,
а чаще – границы неопределенные, расплывчатые. Такие
случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый
промежуток, называются непрерывными случайными величинами. Понятие
случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если
«классическая» теория вероятностей оперировала по преимуществу с событиями, то
современная теория вероятностей предпочитает, где только возможно, оперировать
со случайными величинами. Приведем
примеры типичных для теории вероятностей приемов перехода от событий к
случайным величинам. Производится
опыт, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие. Вместо события можно рассмотреть
случайную величину ,
которая равна 1, если событие происходит, и равна 0, если событие не происходит.
Случайная величина,
очевидно, является прерывной; она имеет два возможных значения: 0 и 1. Эта
случайная величина называется характеристической случайной величиной события
. На практике
часто вместо событий оказывается удобнее оперировать их характеристическими
случайными величинами. Например, если производится ряд опытов, в каждом из
которых возможно появление события , то общее число появлений события равно
сумме характеристических случайных величин события во всех опытах. При решении
многих практических задач пользование таким приемом оказывается очень удобным. С другой
стороны, очень часто для вычисления вероятности события оказывается удобно
связать это событие с какой-то непрерывной случайной величиной (или системой
непрерывных величин). Пусть,
например, измеряются координаты какого-то объекта О для того, чтобы
построить точку М, изображающую этот объект на панораме (развертке)
местности. Нас интересует событие , состоящее в том, что ошибка R в положении точки М не превзойдет заданного
значения (рис.
2.4.1). Обозначим случайные
ошибки в измерении координат объекта. Очевидно, событие равносильно попаданию случайной
точки М с координатами в пределы круга радиуса с центром в точке О.
Другими словами, для выполнения события случайные величины и должны удовлетворять неравенству Вероятность
события есть
не что иное, как вероятность выполнения неравенства (2.4.1). Эта вероятность
может быть определена, если известны свойства случайных величин . Такая
органическая связь между событиями и случайными величинами весьма характерна
для современной теории вероятностей, которая, где только возможно, переходит от
«схемы событий» к «схеме случайных величин». Последняя схема сравнительно с
первой представляет собой гораздо более гибкий и универсальный аппарат для
решения задач, относящихся к случайным явлениям. Случайная величина
как фундаментальное понятие теории вероятности имеет большое значение в ее приложениях. Это понятие является абстрактным выражением случайного события. Более того, оперировать со случайными величинами иногда более удобно, чем со случайными событиями. Случайной
называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное (но только одно) значение (до опыта неизвестно, какое именно). События принято обозначать большими буквами латинского алфавита, вероятность буквой Р,
например, Р(А).
Реализации события (случайные величины) обозначаются малыми буквами: a
1 , a
2 , …, a
n .
Поскольку в теории вероятностей и математической статистике рассматриваются массовые явления,
то случайная величина, как правило, характеризуется возможными значениями и их вероятностями.
Среди встречающихся в практике случайных величин можно выделить дискретные и непрерывные. Дискретными случайными величинами
называются такие, которые принимают только отделенные друг от друга значения и могут быть заранее перечислены.
Например, количество автомобилей на заданном километровом участке дороги в конкретный момент времени; число бракованных узлов деталей автомобиля в партии из n
штук. Для дискретных случайных величин
характерно, что они принимают отдельные, изолированные значения,
которые можно заранее перечислить. Например, количество автомобилей на заданном участке дороги может принимать только целочисленные значения 0, 1,2, ..., п
и зависит от времени суток и интенсивности движения. Существуют случайные величины другого типа, которые чаще встречаются и имеют большое практическое значение. Непрерывной случайной величиной
называется такая, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток
(интервал числовой оси). Интервал числовой оси может быть конечным или бесконечным. Примерами непрерывных случайных величин являются время безотказной работы автомобиля в заданных дорожных условиях, скорость движения автомобиля на заданной дороге, ошибка измерения. В отличие от дискретных
возможные значения непрерывных случайных величин нельзя заранее перечислить, так как они непрерывно заполняют некоторый промежуток. Случайные величины обозначаются обычно большими буквами латинского алфавита - X, Y, Z, Т,
а их возможные значения соответствующими малыми x i , y i , z i , t i
, где i =
1, 2, .... п.
Рассмотрим дискретную случайную величину X
с возможными значениями x
1 , x
2 , …, x n .
В результате проведения многократных опытов величина Т
может принять каждое из значений x i
, т. е.: X = x 1 ; X = x 2 ; …; X = x n .
Обозначим вероятности этих событий буквой р
с соответствующими индексами: P(X = x 1)= p 1 ; P(X = x 2)= p 2 ; …; P(X = x n)= p n .
Исходя из того, что события x i
образуют полную группу несовместимых событий, т. е. никаких других событий произойти не может, сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины Т равна единице.
Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями случайной величины Дискретную случайную величину
можно полностью описать с вероятностной точки зрения, если точно указать вероятность каждого события, т. е. задать это распределение. Этим будет установлен закон распределения случайной величины. Законом распределения случайной величины
называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями
. Зная его, можно до опыта судить о том, какие значения случайной величины будут появляться чаще и какие реже. Способы или формы представления закона распределения случайной величины различны. Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины Т является ряд распределения
или таблица, в которой перечислены возможные значения этой величины и соответствующие им вероятности. Определение случайной величины.
Многие случайные события могут быть оценены количественно случайными величинами. Случайной называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств.
Случайными величинами являются: число больных на приеме у врача, число студентов в аудитории, число рождений в городе, продолжительность жизни отдельного человека, скорость молекулы, температура воздуха, погрешность в измерении какой-либо величины и др. Если пронумеровать шары в урне примерно так, как это делают при разыгрывании тиража лото, то произвольное вынимание шара из урны покажет число, являющееся случайной величиной. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений:
число букв на произвольной странице книги, энергия электрона в атоме, число волос на голове человека, число зерен в колосьях, число молекул в выделенном объеме газа и т. п. Непрерывная случайная величина принимает любые значения внутри некоторого интервала:
температура тела, масса зерен в
колосьях пшеницы, координата места попадания пули в цель (принимаем пулю за материальную точку) и др. Распределение дискретной случайной величины.
Дискретная случайная величина считается заданной, если указаны ее возможные значения и соответствующие им вероятности. Обозначим дискретную случайную величину X,
ее значения x 1 x 2 ,
….,
а вероятности Р(х 1)
= p 1, Р(х 2)
= р 2
и т. д. Совокупность X
и Р называется распределением дискретной случайной величины
(табл. 1). Таблица 1 Случайной величиной является номер вида спорта в игре «Спортло-10». Общее число видов равно 49. Указать распределение этой случайной величины (табл. 3). Таблица 3
Так как при l = 1
происходят также и два других сложных события: (А и А и А)и(А и А и А), то необходимо, воспользовавшись теоремой сложения вероятностей (2.4), получить полную вероятность для l = 1,
сложив трижды предыдущее выражение: Значение I =
2 соответствует случаю, при котором событие А произошло в двух из трех испытаний. Рассуждениями, подобными приведенным выше, получим полную вероятность для этого случая: При 1 = 3
событие А появляется во всех трех испытаниях. Используя теорему умножения вероятностей, находим На основе многолетних наблюдений вызов врача в данный дом оценивается вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что в течение шести дней произойдет четыре вызова врача; Р(А)
= 0,5, п =
6,1
= 4. Т Воспользуемся формулой (2.10): Числовые характеристики дискретной случайной величины.
Во многих случаях, наряду с распределением случайной величины или вместо него, информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых характеристик случайной величины.
Рассмотрим наиболее употребительные из них. Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значе Пусть при большом числе испытаний п
дискретная случайная величина X
принимает значения x v x 2 ,
..., х п
соответственно m 1 , m г,
..., т п
раз. Среднее значение равно Если п
велико, то относительные частоты т 1 /п, т 2 /п,
... будут стремиться к вероятностям, а средняя величина - к математическому ожиданию. Именно поэтому математическое ожидание часто отождествляют со средним значением. Найти математическое ожидание для дискретной случайной величины, которая задается цифрой на грани при бросании игральной кости (см. табл. 2). Используем формулу (2.11): Найти математическое ожидание для дискретной случайной величины, которая определяется тиражом «Спортлото» (см. табл. 3). Согласно формуле (2.11), находим Возможные значения дискретной случайной величины рассеяны вокруг ее математического ожидания, часть из них превышает М{Х),
часть - меньше М{Х).
Как оценить степень разброса случайной величины относительно ее среднего значения? Может показаться, что для решения такой задачи следует вычислить отклонения всех случайных величин от ее математического ожидания X - М(Х),
а затем найти математическое ожидание (среднее значение) этих отклонений: М[Х - М(Х)].
Вез доказательства отметим, что эта величина равна нулю, так как отклонения случайных величин от математического ожидания имеют как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому целесообразно учитывать либо абсолютные значения отклонений М[Х - М
(X)], либо их квадраты М[Х - М(Х)] 2 .
Второй вариант оказывается предпочтительнее, так приходят к понятию дисперсии случайной величины. Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Она означает, что дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X
и квадратом ее математического ожидания. Найти дисперсию случайной величины, которая задается цифрой на грани при бросании игральной кости (см. табл. 2). Математическое ожидание этого распределения равно 3,5. Запишем значения квадратов отклонения случайных величин от математического ожидания: (1 - 3,5) 2 = 6,25; (2 - 3,5) 2 = 2,25; (3 - 3,5) 2 = 0,25; (4 - 3,5) 2 = 0,25; (5 - 3,5) 2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. По формуле (2.12) с учетом (2.11) няходим дисперсию: Как следует из (2.12), дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Для того чтобы оценивать расстояние случайной величины в единицах той же размерности, вводят понятие среднего квадратического отклонения,
под которым понимают квадратный корень из дисперсии: Распределение и характеристики непрерывной случайной величины. Непрерывную случайную величину нельзя задать тем же законом распределения, что и дискретную. В этом случае поступают следующим образом. Пусть dP - вероятность того, что непрерывная случайная величина X
принимает значения между х
и х
+ dx.
Очевидно, что Ирм больше интервал dx,
тем больше и вероятность dP: dP ~ dx.
Шроме того, вероятность должна зависеть и от самой случайной Величины, вблизи которой расположен интервал, поэтому где f(x)
- плотность вероятности,
или функция распределения вероятностей.
Она показывает, как изменяется вероятность, отнесенная к интервалу dx
случайной величины, в зависимости от значения самой этой величины: Интегрируя выражение (2.15) в соответствующих пределах, находим вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале (ab): Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид Как видно из (2.19), эта функция равна вероятности того, что случайная величина принимает значения, меньшие х:
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание и дисперсия записываются соответственно в виде
где неравенство x_i
Плотность распределения вероятности и ее свойства
Числовые характеристики случайных величин
Свойства математического ожидания
Свойства дисперсии случайных величин
Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин
Перейти к следующему разделу
Многомерные случайные величины
В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
образует пространство элементарных событий , подмножества которого называются случайными событиями . В случае однократного подбрасывания игровой кости примерами событий являются
, принадлежит .
.
,
Значение 1 = 0
соответствует такому случаю, при котором трижды подряд событие А
не происходило. Вероятность этого сложного события, по теореме умножения вероятностей (2.6), равна
Значение I =
1 относится к случаю, при котором событие А произошло в одном из трех испытаний. По формуле (2.6) получаем
В общем случае биномиальное распределение позволяет определить вероятность того, что событие А произойдет l
раз при п
испытаниях:
ний на вероятности этих значений:
Предыдущая статья: Постигаем вечное: в чем смысл венчания в православной церкви
Следующая статья: Где легко ошибиться, учитывая выручку по мсфо Признание доходов в мсфо