Непрерывная функция распределения. Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL
Даны определения Функции распределения случайной величины и Плотности вероятности непрерывной случайной величины. Эти понятия активно используются в статьях о статистике сайта . Рассмотрены примеры вычисления Функции распределения и Плотности вероятности с помощью функций MS EXCEL .
Введем базовые понятия статистики, без которых невозможно объяснить более сложные понятия.
Генеральная совокупность и случайная величина
Пусть у нас имеется генеральная совокупность (population) из N объектов, каждому из которых присуще определенное значение некоторой числовой характеристики Х.
Примером генеральной совокупности (ГС) может служить совокупность весов однотипных деталей, которые производятся станком.
Поскольку в математической статистике, любой вывод делается только на основании характеристики Х (абстрагируясь от самих объектов), то с этой точки зрения генеральная совокупность представляет собой N чисел, среди которых, в общем случае, могут быть и одинаковые.
В нашем примере, ГС - это просто числовой массив значений весов деталей. Х – вес одной из деталей.
Если из заданной ГС мы выбираем случайным образом один объект, имеющей характеристику Х, то величина Х является случайной величиной . По определению, любая случайная величина имеет функцию распределения , которая обычно обозначается F(x).
Функция распределения
Функцией распределения
вероятностей случайной величины
Х называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события X F(x) = P(X Поясним на примере нашего станка. Хотя предполагается, что наш станок производит только один тип деталей, но, очевидно, что вес изготовленных деталей будет слегка отличаться друг от друга. Это возможно из-за того, что при изготовлении мог быть использован разный материал, а условия обработки также могли слегка различаться и пр. Пусть самая тяжелая деталь, произведенная станком, весит 200 г, а самая легкая - 190 г. Вероятность того, что случайно выбранная деталь Х будет весить меньше 200 г равна 1. Вероятность того, что будет весить меньше 190 г равна 0. Промежуточные значения определяются формой Функции распределения. Например, если процесс настроен на изготовление деталей весом 195 г, то разумно предположить, что вероятность выбрать деталь легче 195 г равна 0,5.
Типичный график Функции распределения
для непрерывной случайной величины приведен на картинке ниже (фиолетовая кривая, см. файл примера
): В справке MS EXCEL Функцию распределения
называют Интегральной
функцией распределения
(Cumulative
Distribution
Function
,
CDF
). Приведем некоторые свойства Функции распределения:
Напомним, что плотность распределения
является производной от функции распределения
, т.е. «скоростью» ее изменения: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx стремящемся к 0, где Dx=x2-x1. Т.е. тот факт, что плотность распределения
>1 означает лишь, что функция распределения растет достаточно быстро (это очевидно на примере ). Примечание
: Площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения
, равна 1. Примечание
: Напомним, что функцию распределения F(x) называют в функциях MS EXCEL интегральной функцией распределения
. Этот термин присутствует в параметрах функций, например в НОРМ.РАСП
(x; среднее; стандартное_откл; интегральная
). Если функция MS EXCEL должна вернуть Функцию распределения,
то параметр интегральная
, д.б. установлен ИСТИНА. Если требуется вычислить плотность вероятности
, то параметр интегральная
, д.б. ЛОЖЬ. Примечание
: Для дискретного распределения
вероятность случайной величине принять некое значение также часто называется плотностью вероятности (англ. probability mass function (pmf)). В справке MS EXCEL плотность вероятности
может называть даже "функция вероятностной меры" (см. функцию БИНОМ.РАСП()
). Понятно, что чтобы вычислить плотность вероятности
для определенного значения случайной величины, нужно знать ее распределение. Найдем плотность вероятности
для N(0;1) при x=2. Для этого необходимо записать формулу =НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ)
=0,054 или =НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ)
. Напомним, что вероятность
того, что непрерывная случайная величина
примет конкретное значение x равна 0. Для непрерывной случайной величины
Х можно вычислить только вероятность события, что Х примет значение, заключенное в интервале (а; b). 1) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по (см. картинку выше), приняла положительное значение. Согласно свойству Функции распределения
вероятность равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5. НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)
=1-0,5. 2) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по , приняла отрицательное значение. Согласно определения Функции распределения,
вероятность равна F(0)=0,5. В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)
=0,5. 3) Найдем вероятность того, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению
, примет значение, заключенное в интервале (0; 1). Вероятность равна F(1)-F(0), т.е. из вероятности выбрать Х из интервала (-∞;1) нужно вычесть вероятность выбрать Х из интервала (-∞;0). В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) - НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)
. Все расчеты, приведенные выше, относятся к случайной величине, распределенной по стандартному нормальному закону
N(0;1). Понятно, что значения вероятностей зависят от конкретного распределения. В статье найти точку, для которой F(х)=0,5, а затем найти абсциссу этой точки. Абсцисса точки =0, т.е. вероятность, того что случайная величина Х примет значение <0, равна 0,5. В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.ОБР(0,5)
=0. Однозначно вычислить значение случайной величины
позволяет свойство монотонности функции распределения.
Обратная функция распределения
вычисляет , которые используются, например, при . Т.е. в нашем случае число 0 является 0,5-квантилем нормального распределения
. В файле примера
можно вычислить и другой квантиль
этого распределения. Например, 0,8-квантиль равен 0,84. В англоязычной литературе обратная функция распределения
часто называется как Percent Point Function (PPF). Примечание
: При вычислении квантилей
в MS EXCEL используются функции: НОРМ.СТ.ОБР()
, ЛОГНОРМ.ОБР()
, ХИ2.ОБР(),
ГАММА.ОБР()
и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье . Универсальным способом задания закона распределения, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является функция распределения. Функцией распределения случайной величины X
называется функция F
(x
), определяющая для каждого значения x
вероятность того, что случайная величина X
примет значение меньшее, чем x
, то есть F
(x
) = P
(X
< x
). Основные свойства функции распределения F
(x
)
: 1.
Так как по определению F
(x
) равна вероятности события, все возможные значения функции распределения принадлежат отрезку : 0 £ F
(x
) £ 1. 2.
Если , то , то есть F
(x
) - неубывающая функция своего аргумента. 3.
Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее полуинтервалу [a
, b
), равна приращению функции распределения на этом интервале: P
(a
£ X
< b
) = F
(b
) - F
(a
). 4.
Если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a
, b
], то F
(x
) = 0, при x
£ a
; F
(x
) = 1, при x
> b
. Функция распределения дискретных случайных величин может быть определена по формуле
Если известен ряд распределения дискретной случайной величины, легко вычислить и построить ее функцию распределения. Продемонстрируем, как это делается на примере 23. Пример 25.
Вычислить и построить функцию распределения для дискретной случайной величины, закон распределения которой, имеет вид: Решение
. Определим значения функции F
(x
) = P
(X
< x
) для всех возможных значений x
: при x
Î (- ¥; 0,1] нет ни одного значения случайной величины X
, меньшего данных значений x
, то есть нет ни одного слагаемого в сумме (15): F
(x
) = 0; при x
Î (0,1; 1,2] только одно возможное значение (X
= 0,1) меньше рассматриваемых значений x
. То есть при x
Î (0,1; 1,2] F
(x
) = P
(X
= 0,1) = 0,1; при x
Î (1,2; 2,3] два значения (X
= 0,1 и X
= 1,2) меньше данных значений x
, следовательно, F
(x
) = P
(X
= 0,1) + P
(X
= 1,2) = 0,1 + 0,2 = 0,3; при x
Î (2,3; 4,5] три значения (X
= 0,1, X
= 1,2 и X
= 2,3) меньше данных значений x
, следовательно, F
(x
) = P
(X
= 0,1) + P
(X
= 1,2) + P
(X
= 2,3) = 0,1 + 0,2 + 0,6 = 0,9 ; при x
Î (4,5, ¥) все возможные значения случайной величины X
будут меньше данных значений x
, и F
(x
) = P
(X
= 0,1) + P
(X
= 1,2) + P
(X
= 2,3) + + P
(X
= 4,5) = 0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,1 = 1. Таким образом
, График функции F
(x
) изображен на рисунке 8. В общем случае, функция распределения F
(x
) дискретной случайной величины X
есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям х
1 , х
2 , … случайной величины X
и равны вероятностям p
1 , p
2 , … этих значений. Функция распределения непрерывных случайных величин .
Теперь можно дать более точное определение непрерывных случайных величин: случайная величина X
называется непрерывной
, если ее функция распределения F
(x
) при всех значениях x
непрерывна и, кроме того, имеет производную
всюду, за исключением, может быть, отдельных точек. Из непрерывности функции F
(x
) следует, что вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю
. Так как вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна 0, свойство 3 функции распределения для непрерывной случайной величины будет иметь вид P
(a
£ X
< b
) = P
(a
£ X
£ b
) = P
(a
< X
£ b
) = P
(a
< X
< b
) = F
(b
) - F
(a
). Пример 26.
Вероятности поражения цели для каждого из двух стрелков соответственно равны: 0,7; 0,6. Случайная величина X
- число промахов, при условии, что каждый стрелок сделал по одному выстрелу. Составить ряд распределения случайной величины X
, построить столбцовую диаграмму и функцию распределения. Решение. Возможные значения данной случайной величины X
: 0, 1, 2. Условие задачи можно рассматривать как серию из n
= 2 независимых испытаний. В данном случае для вычисления вероятностей возможных значений случайной величины X
можно воспользоваться теоремами сложения вероятностей несовместных событий и умножения вероятностей независимых событий: Обозначим события:
A
i = {i
-й стрелок поразил мишень}, i
= 1, 2. Согласно условию, вероятность события A
1 P
(A
1) = 0,7, вероятность события A
2 - P
(A
2) = 0,6 . Тогда вероятности противоположных событий: , . Определим все элементарные события данного случайного эксперимента и соответствующие вероятности:
(Проверим, что Ряд распределения данной случайной величины X
имеет вид Столбцовая диаграмма, соответствующая этому ряду распределения, приведена на рисунке 9. Вычислим функцию распределения данной случайной величины:
при x
Î (- ¥, 0] ; при x
Î (0, 1] ; при x
Î (1, 2] ; при x
Î (2, +¥); Итак, функция распределения рассматриваемой случайной величины имеет вид:
График функции F
(x
) приведён на рисунке 10. Плотностью распределения вероятностей
непрерывной случайной величины X
в точке x
называется производная ее функции распределения в этой точке: f
(x
) = F
¢(x
). По своему смыслу значения функции f
(x
) пропорциональны вероятности того, что исследуемая случайная величина примет значение где-то в непосредственной близости от точки x
. Функция плотности распределения f
(x
), как и функция распределения F
(x
), является одной из форм задания закона распределения, но она применима только для непрерывных случайных величин. Функцию плотности распределения вероятностей f
(x
) еще называют дифференциальной функцией распределения
, тогда как функцию распределения F
(x
) называют, соответственно, интегральной функцией распределения
. График функции плотности распределения f
(x
) называется кривой распределения
. Рассмотрим свойства, которыми обладает функция плотности распределения непрерывной случайной величины. Свойство 1.
Плотность распределения вероятностей - неотрицательная функция: f
(x
) ³ 0 (геометрически:
кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс). Свойство 2.
Вероятность попадания значения случайной величины на участок от a до b определяется по формуле (геометрически:
эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f
(x
), осью Ох
и прямыми x
= a и x
= b). Свойство 3.
(геометрически
: площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице). В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a
, b
], то Свойство 4.
Функция распределения F
(x
) может быть найдена по известной функции плотности распределения следующим образом: Пример 27.
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения Определить дифференциальную функцию плотности распределения. Решение
. Определим дифференциальную функцию плотности распределения Пример 28.
Является ли плотностью распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций? Вопросы для самоконтроля
1. Что называется случайной величиной? 2. Какие величины называются дискретными? непрерывными? 3. Что называется законом распределения случайной величины? 4. Какими способами может быть задан закон распределения дискретной случай-ной величины? непрерывной? 5. Что характеризует функция распределения F(x)
случайной величины? 6. Как определить вероятность попадания значения случайной величины в некоторый интервал с помощью функции распределения? 7. Что характеризует функция плотности распределения случайной величины? Укажите ее вероятностный смысл. 8. Для каких величин определена функция плотности распределения? 9. Может ли функция плотности распределения принимать отрицательные зна-чения? 10. Как связаны между собой функции F(x)
и f
(x
)? 11. Какие случайные величины называются непрерывными? 12. Чему равна площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс? 13. Как определить вероятность попадания значения непрерывной случайной ве-личины в некоторый интервал с помощью функции плотности распределения? 3. Функция распределения является неубывающей
: если , то 4. Функция распределения непрерывна слева
: для любого . Примечание
. Последнее свойство обозначает, какие значения принимает функция распределения в точках разрыва. Иногда определение функции распределения формулируют с использованием нестрогого неравенства: . В этом случае непрерывность слева заменяется на непрерывность справа: при . Никакие содержательные свойства функции распределения при этом не меняются, поэтому данный вопрос является лишь терминологическим. Свойства 1-4 являются характеристическими, т.е. любая функция , удовлетворяющая этим свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины. Функция распределения задает распределение вероятностей случайной величины однозначно. Фактически, она является универсальным и наиболее наглядным способом описания этого распределения. Чем сильнее функция распределения растет на заданном интервале числовой оси, тем выше вероятность попадания случайной величины в этот интервал. Если вероятность попадания в интервал равна нулю, то функция распределения на нем постоянна. В частности, вероятность того, что случайная величина примет заданное значение , равна скачку функции распределения в данной точке: Если функция распределения непрерывна в точке , то вероятность принять данное значение для случайной величины равна нулю. В частности, если функция распределения непрерывна на всей числовой оси (при этом и соответствующее распределение называется непрерывным
), то вероятность принять любое заданное значение равна нулю. Из определения функции распределения вытекает, что вероятность попадания случайной величины в интервал, замкнутый слева и открытый справа, равна: С помощью данной формулы и указанного выше способа нахождения вероятности попадания в любую заданную точку, легко определяются вероятности попадания случайной величины в интервалы других типов: , и . Далее, по теореме о продолжении меры, можно однозначно продолжить меру на все борелевские множества числовой прямой . Для того, чтобы применить эту теорему, требуется показать, что таким образом определенная на интервалах мера является на них сигма-аддитивной; при доказательстве этого в точности используются свойства 1-4 (в частности, свойство непрерывности слева 4, поэтому отбросить его нельзя). Рассмотрим случайную величину , имеющую функцию распределения . Предположим, что непрерывна
. Рассмотрим случайную величину Легко показать, что тогда будет иметь равномерное распределение на отрезке . Дисперсия
непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Назначение сервиса
. Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения
f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x)
. Инструкция
. Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .
Задана плотность распределения f(x): Задана функция распределения F(x): Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей Случайную величину X называют непрерывной
, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL
Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL
Вместо +∞ в формулу введено значение 9,999E+307= 9,999*10^307, которое является максимальным числом, которое можно ввести в ячейку MS EXCEL (так сказать, наиболее близкое к +∞).
. (15)x i
0,1
1,2
2,3
4,5
p i
0,1
0,2
0,6
0,1
Элементарные события
События
Вероятности
Итого
).x i
Итого
p i
0,42
0,46
0,12
:
Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
;
.
Генерация случайной величины, имеющей заданное распределение
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения
непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.
2. Условие нормировки:
Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле
Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:
Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть }
Предыдущая статья: Расклады на работу: аркан в прямом положении
Следующая статья: Характеристика мужчин и женщин Тельцов, рождённых в год Крысы