Где находится центр тяжести круга. Определение центра тяжести плоских фигур

Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.7

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.8

3.Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S 1 и площади вырезанной части S 2 .

Рис.9

4.Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.

Центры тяжести некоторых однородных тел.

1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10).

Рис.10

Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L - длина дуги АВ , равная .

Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О , равном

где угол измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади треугольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy , координаты вершин которого известны: A i (x i ,y i ), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А 1 А 2 , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А 3 М 3 (рис.11) .

Рис.11

Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А 2 А 3 , можно убедиться, что он должен лежать на медиане А 1 М 1 . Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан , которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

В частности, для медианы А 1 М 1 получим, учитывая, что координаты точки М 1 - это среднее арифметическое координат вершин А 2 и А 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x М 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 + x 2 +x 3)/3.

Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:

x c =(1/3)Σx i ; y c =(1/3)Σy i .

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) .

Очевидно, что y c = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле:

Рис.12

Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом d φ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R ×d φ и высотой R . Площадь такого треугольника dF =(1/2)R 2 ∙d φ, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R ∙cosφ. Подставляя в (5) F = αR 2 , получим:

С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга .

Подставляя в (2) α = π/2, получим: x c = (4R )/(3π) ≅ 0,4R .

Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 13.

Рис.13

Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

Объёмы их:

Поэтому координаты центра тяжести тела

Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).

Рис.14

Координаты центров тяжести:

Площади:

Рис. 6.5.

Пример 3. У квадратного листа см вырезано квадратное отверстие см (рис.15). Найдем центр тяжести листа.

Рис.15

В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:

координата так как тело имеет ось симметрии (диагональ).

Пример 4. Проволочная скобка (рис.16) состоит из трёх участков одинаковой длины l .

Рис.16

Координаты центров тяжести участков:

Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:

Пример 5. Определить положение центра тяжести фермы, все стержни которой имеют одинаковую погонную плотность (рис.17).

Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ= ρg , где g - ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.

Рис.17

Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня.

Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим:

где L i длина i -го стержня фермы, а x i , y i - координаты его центра тяжести.

Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней.

Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.

Первая группа состоит из первого стержня, для нее L 1 = 4 м, x 1 = 0 м, y 1 = 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L 2 = 20 м, x 2 = 3 м, y 2 = 2 м.

Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:

x c = (L 1 ∙x 1 + L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;

y c = (L 1 ∙y 1 + L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.

Отметим, что центр С лежит на прямой, соединяющей С 1 и С 2 и делит отрезок С 1 С 2 в отношении: С 1 С /СС 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.

Вопросы для самопроверки

Что называется центром параллельных сил?

Как определяются координаты центра параллельных сил?

Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?

Каким свойством обладает центр параллельных сил?

По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?

Что называется центром тяжести тела?

Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?

Что называют статическим моментом площади?

Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.

Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

В чем состоит сущность способа отрицательных весов?

Где расположен центр тяжести дуги окружности?

Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.

Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.

По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?

Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?

Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?

Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?

Инструкция

Следует учитывать, что положение центра масс напрямую зависит от того, каким образом распределена по объему тела его масса. Центр масс может даже не находиться в самом теле, примером такого объекта может служить однородное кольцо, у которого центр масс находится в его геометрическом центре. То есть – . При расчетах центр масс можно расценивать математической точкой, в которой сосредоточена вся масса тела.

Здесь R.ц.м. – радиус-вектор центра масс, mi – масса i-той точки, ri – радиус-вектор i-той точки системы. На практике во многих случаях легко найти центр масс, если предмет имеет некую строгую геометрическую форму. Например, у однородного стержня он находится точно посередине. У параллелограмма - на пересечении диагоналей, у треугольника это точка , а у правильного многоугольника центр масс находится в центре поворотной симметрии.

Для более сложных тел задача расчета усложняется, в этом случае необходимо разбить объект на однородные объемы. Для каждого из них отдельно центры масс, после чего найденные значения подставляются в соответствующие формулы и находится итоговое значение.

На практике необходимость определения центра масс (центра тяжести) обычно связана с конструкторскими работами. Например, при проектировании судна важно обеспечить его остойчивость. Если центр тяжести будет находиться очень , то может опрокинуться. Как рассчитать нужный параметр для такого сложного объекта, как судно? Для этого находятся центры тяжести его отдельных элементов и агрегатов, после чего найденные значения складываются с учетом их месторасположения. При конструировании центр тяжести обычно стараются расположить как можно ниже, поэтому наиболее тяжелые агрегаты располагают в самом низу.

Источники:

Центр масс
Решение задач по физике

Центр масс – важнейшая геометрическая и техническая характеристика тела. Без вычисления его координат невозможно представить конструирование в машиностроении, решение задач строительства и архитектуры. Точное определение координат центра массы производится с помощью интегрального исчисления.

Инструкция

Начинать всегда следует от , постепенно переходя к более сложным ситуациям. Исходите из того, что определению подлежит центр массы непрерывной плоской фигуры D, которой ρ постоянна и равномерно распределена в ее пределах. Аргумент х изменяется от а до b, y от c до d. Разбейте фигуру сеткой вертикальных (x=x(i-1), x=xi (i=1,2,…,n)) и горизонтальных прямых (y=y(j-1), y=xj (j=1,2,…,m)) на элементарные прямоугольники с основаниями ∆хi=xi-x(i-1) и высотами ∆yj=yj-y(j-1) (см. рис. 1). При этом середину элементарного отрезка ∆хi найдите как ξi=(1/2), а высоту ∆yj как ηj=(1/2). Поскольку плотность распределяется равномерно, то центр массы элементарного прямоугольника совпадет с ее геометрическим центром. То есть Хцi=ξi, Yцi=ηj.

Массу М плоской фигуры (если она неизвестна), вычислите как произведение на площадь. Замените элементарную площадь на ds=∆хi∆yj=dxdy. Представьте ∆mij в виде dM=ρdS=ρdxdy и получите ее массу по формуле, приведенной на рисунке. 2a. При малых приращениях считайте, что ∆mij, сосредоточена в материальной точке с координатами Хцi=ξi, Yцi=ηj. Из задач известно, что каждая координата центра масс системы материальных точек равна дроби, числитель которой сумму статических моментов масс mν относительно соответствующей оси, а равен сумме этих масс. Статический момент массы mν, относительно оси 0х равен уν*mν, а относительно 0у хν*mν.

Примените это к рассматриваемой ситуации и получите приблизительные значения статических моментов Јх и Ју в виде Ју≈{∑ξνρ∆xν∆yν}, Јх≈{∑ηνρ∆xν∆yν} (суммирование производилось по ν от 1 до N). Входящие в последнее выражения суммы являются интегральными. Перейдите к пределам от них при ∆хν→0 ∆yν→0 и запишите окончательные (см. рис. 2b). Координаты центра масс находите делением соответствующего статистического момента на общую массу фигуры М.

Методология получения координат центра масс пространственной фигуры G отличается лишь тем, что возникают тройные интегралы, а статические моменты рассматриваются относительно координатных плоскостей. Не следует забывать и что плотность не обязательно постоянна, то есть ρ(x,y,z)≠const. Поэтому окончательный и самйы общий имеет вид (см. рис. 3).

Источники:

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2., М.: 1976, 576 с., ил.

Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном в 1666 году и опубликованный в 1687 году, гласит, что все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Математическая формулировка позволяет не только установить сам факт взаимного притяжения тел, но и измерить его силу.

Инструкция

Еще до Ньютона многие высказывали предположения о существовании всемирного тяготения. С самого начала им было очевидно, что притяжение между любыми двумя телами должно зависеть от их массы и ослабевать с расстоянием. Иоганн Кеплер, первым описавший эллиптические орбиты Солнечной системы, считал, что Солнце притягивает с силой, обратно пропорциональной расстоянию.

Окончательно закон всемирного тяготения формулируется так: любые два тела, обладающие массой, взаимно притягиваются, и сила их притяжения равна

F = G* ((m1*m2)/R^2),

где m1 и m2 - массы тел, R - расстояние , G - гравитационная постоянная.

Если тело, участвующее в тяготении, обладает приблизительно сферической формой, то расстояние R следует отмерять не от его поверхности, а от центра масс. Материальная точка с той же массой, находящаяся точно в центре, порождала бы точно такую же силу притяжения.

В частности, это значит, что, например, при расчете силы, с которой Земля притягивает стоящего на ней , расстояние R равно не нулю, а радиусу . На самом деле оно равно расстоянию между центром Земли и центром тяжести человека, но этой разницей можно пренебречь без потери точности.

Гравитационное притяжение всегда взаимно: не только Земля притягивает человека, но , в свою очередь, притягивает Землю. Из-за огромной разницы между массой человека планеты это незаметно. Аналогично и при расчетах траекторий космических аппаратов обычно пренебрегают тем, что аппарат притягивает к себе планеты и кометы.

Однако если массы взаимодействующих объектов сравнимы, то их взаимное притяжение становится заметным для всех участников. Например, с точки зрения физики не вполне верно говорить, что Луна вращается вокруг Земли. В действительности Луна и Земля вращаются вокруг общего центра масс. Поскольку наша планета намного больше своего естественного , то этот центр находится внутри нее, но все же с центром самой Земли не совпадает.

Видео по теме

Источники:

Классная физика для любознательных - закон всемирного тяготения

Математика и физика, возможно, самые удивительные науки из доступных человеку. Описывая мир через вполне определенные и поддающиеся расчету законы, ученые могут «на кончике пера» получить значения, измерить которые, на первый взгляд, кажется невозможным.

Инструкция

Один из базовых законов физики – закон всемирного тяготения. Он гласит, что все тела притягиваются друг к другу с силой, равной F=G*m1*m2/r^2. При этом G является определенной константой (будет указана непосредственно во время расчета), m1 и m2 массы тел, а r –расстояние между ними.

Массу Земли можно вычислить на основе эксперимента. При помощи маятника и секундомера можно рассчитать ускорение свободного падения g (шаг будет опущен за несущественностью), равное 10 м/c^2. Согласно второму закону Ньютона F можно представить как m*a. Поэтому, для тела, притягивающегося к Земле: m2*a2=G*m1*m2/r^2, где m2 – масса тела, m1 – масса Земли, a2=g. После преобразований (сокращения m2 в обеих частях, переноса m1 влево, а a2 - вправо) уравнение примет следующий вид: m1=(ar)^2/G. Подстановка значений дает m1=6*10^27

Расчет массы Луны опирается на правило: от тел до центра масс системы обратно пропорциональны массам тел. Известно, что Земля и Луна обращаются вокруг некоторой точки (Цм), причем расстояния от центров до этой точки как 1/81,3. Отсюда Мл=Мз/81,3=7.35*10^25.

Дальнейшие вычисления опираются на 3-ий закон Кепплера, согласно которому (T1/T2)^2*(M1+Mc)/(M2+Mc)=(L1/L2)^3, где T – период обращения небесного тела вокруг Солнца , L – расстояние до последнего, M1, M2 и Mc – массы двух небесных тел и , соответственно. Составив уравнения для двух систем ( +луна – / земля - луна) можно увидеть, что одна часть уравнения получается общей, а значит, вторые можно приравнять.

Расчетной формулой в наиболее общем виде является Lз^3/(Tз^2*(Mc+Мз)=Lл^3/(Tл^2*(Mз+Мл). Массы небесных тел были вычислены теоретически, периоды обращения находятся практически, для расчета L используются исчисления либо практические методы. После упрощения и подстановки необходимых значений уравнение примет вид: Мс/Мз+Мл=329.390. Отсюда Мс=3,3*10^33.

Кинетическая энергия – это энергия механической системы, которая зависит от скоростей движения каждой из ее точек. Другими словами, кинетическая энергия представляет собой разницу между полной энергией и энергией покоя рассматриваемой системы, та часть полной энергии системы, которая обусловлена движением. Кинетическая энергия делится на энергию поступательного и вращательного движения. Единицей измерения кинетической энергии в системе СИ является Джоуль.

Инструкция

В случае поступательного движения все точки системы (тела) имеют одинаковые скорости движения, которые равны скорости движения центра масс тела. При этом кинетическая системы Тпост равна:
Tпост = ? (mk Vс2)/2,
где mk –масса тела, Vс – центра масс.Таким образом, при поступательном тела кинетическая энергия равна произведению массы тела на квадрат скорости центра масс, деленному на два. При этом значение кинетической не зависит от движения.

Определение центра тяжести произвольного тела путем последовательного сложения сил, действующих на отдельные его части,- трудная задача; она облегчается только для тел сравнительно простой формы.

Пусть тело состоит только из двух грузов массы и , соединенных стрежнем (рис. 125). Если масса стержня мала по сравнению с массами и , то ею можно пренебречь. На каждую из масс действуют силы тяжести, равные соответственно и ; обе они направлены вертикально вниз, т. е. параллельно друг другу. Как мы знаем, равнодействующая двух параллельных сил приложена в точке , которая определяется из условия

Рис. 125. Определение центра тяжести тела, состоящего из двух грузов

Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс. Если это тело подвесить в точке , оно останется в равновесии.

Так как две равные массы имеют общий центр тяжести в точке, делящей пополам расстояние между этими массами, то сразу ясно, что, например, центр тяжести однородного стержня лежит в середине стержня (рис. 126).

Поскольку любой диаметр однородного круглого диска делит его на две совершенно одинаковые симметричные части (рис. 127), то центр тяжести должен лежать на каждом диаметре диска, т. е. в точке пересечения диаметров - в геометрическом центре диска . Рассуждая сходным образом, можно найти, что центр тяжести однородного шара лежит в его геометрическом центре, центр тяжести однородного прямоугольного параллелепипеда лежит на пересечении его диагоналей и т. д. Центр тяжести обруча или кольца лежит в его центре. Последний пример показывает, что центр тяжести тела может лежать вне тела.

Рис. 126. Центр тяжести однородного стержня лежит в его середине

Рис. 127. Центр однородного диска лежит в его геометрическом центре

Если тело имеет неправильную форму или если оно неоднородно (например, в нем есть пустоты), то расчет положения центра тяжести часто затруднителен и это положение удобнее найти посредством опыта. Пусть, например, требуется найти центр тяжести куска фанеры. Подвесим его на нити (рис. 128). Очевидно, в положении равновесия центр тяжести тела должен лежать на продолжении нити, иначе сила тяжести будет иметь момент относительно точки подвеса, который начал бы вращать тело. Поэтому, проведя на нашем куске фанеры прямую, представляющую продолжение нити, можем утверждать, что центр тяжести лежит на этой прямой.

Действительно, подвешивая тело в разных точках и проводя вертикальные прямые, мы убедимся, что все они пересекутся в одной точке. Эта точка и есть центр тяжести тела (так как он должен лежать одновременно на всех таких прямых). Подобным образом можно определить положение центра тяжести не только плоской фигуры, но и более сложного тела. Положение центра тяжести самолета определяют, вкатывая его колесами на платформы весов. Равнодействующая сил веса, приходящихся на каждое колесо, будет направлена по вертикали, и найти линию, по которой она действует, можно по закону сложения параллельных сил.

Рис. 128. Точка пересечения вертикальных линий, проведенных через точки подвеса и есть центр тяжести тела

При изменении масс отдельных частей тела или при изменении формы тела положение центра тяжести меняется. Так, центр тяжести самолета перемещается при расходовании горючего из баков, при загрузке багажа и т. п. Для наглядного опыта, иллюстрирующего перемещение центра тяжести при изменении формы тела, удобно взять два одинаковых бруска, соединенных шарниром (рис. 129). В том случае, когда бруски образуют продолжение один другого, центр тяжести лежит на оси брусков. Если бруски согнуть в шарнире, то центр тяжести оказывается вне брусков, на биссектрисе угла, который они образуют. Если на один из брусков надеть дополнительный груз, то центр тяжести переместится в сторону этого груза.

Рис. 129. а) Центр тяжести соединенных шарниром брусков, расположенных на одной прямой, лежит на оси брусков, б) Центр тяжести согнутой системы брусков лежит вне брусков

81.1. Где находится центр тяжести двух одинаковых тонких стержней, имеющих длину 12 см и скрепленных в виде буквы Т?

81.2. Докажите, что центр тяжести однородной треугольной пластины лежит на пересечении медиан.

Рис. 130. К упражнению 81.3

81.3. Однородная доска массы 60 кг лежит на двух опорах, как показано на рис. 130. Определите силы, действующие на опоры.

Цель работы – определить центр тяжести сложной фигуры аналитическим и опытным путями.

Теоретическое обоснование. Материальные тела состоят из элементарных частиц, положение которых в пространстве определяется их координатами. Силы притяжения каждой частицы к Земле можно считать системой параллельных сил, равнодействующая этих сил называется силой тяжести тела или весом тела. Центр тяжести тела – это точка приложения силы тяжести.

Центр тяжести – это геометрическая точка, которая может быть расположена и вне тела (например, диск с отверстием, полый шар и т.п.). Большое практическое значение имеет определение центра тяжести тонких плоских однородных пластин. Их толщиной обычно можно пренебречь и считать, что центр тяжести расположен в плоскости. Если координатную плоскость xOy совместить с плоскостью фигуры, то положение центра тяжести определяется двумя координатами:

где - площадь части фигуры, ();

– координаты центра тяжести частей фигуры, мм (см).

Сечение фигуры	А, мм 2	X c ,мм	Y c , мм
	bh	b/2	h/2
	bh/2	b/3	h/3
	R 2 a
При 2α = π πR 2 /2

Порядок проведения работы .

Начертить фигуру сложной формы, состоящую из 3-4 простых фигур (прямоугольник, треугольник, круг и т.п.) в масштабе 1:1 и проставить ее размеры.

Провести оси координат так, чтобы они охватывали всю фигуру, разбить сложную фигуру на простые части, определить площадь и координаты центра тяжести каждой простой фигуры относительно выбранной системы координат.

Вычислить координаты центра тяжести всей фигуры аналитически. Вырезать данную фигуру из тонкого картона или фанеры. Просверлить два отверстия, края отверстий должны быть гладкими, а диаметр отверстий несколько больше диаметра иглы для подвешивания фигуры.

Подвесить фигуру сначала в одной точке (отверстии), прочертить карандашом линию, совпадающую с нитью отвеса. То же повторить при подвешивании фигуры в другой точке. Центр тяжести фигуры, найденный опытным путем, должны совпадать.

Определить координаты центра тяжести тонкой однородной пластины аналитически. Проверку произвести опытным путем

Алгоритм решения

1. Аналитический способ.

а) Чертеж вычертить в масштабе 1:1.

б) Сложную фигуру разбить на простые

в) Выбрать и провести оси координат (если фигура симметричная, то – по оси симметрии, в противном случае – по контору фигуры)

г) Вычислить площадь простых фигур и всей фигуры

д) Отметить положение центра тяжести каждой простой фигуры на чертеже

е) Вычислить координаты центра тяжести каждой фигуры

(по оси x и y)

ж) Вычислить координаты центра тяжести всей фигуры по формуле

з) Отметить положение центра тяжести на чертеже С (

2. Опытное определение.

Правильность решения задачи проверить опытным путем. Вырезать данную фигуру из тонкого картона или фанеры. Просверлить три отверстия, края отверстий должны быть гладкими, а диаметр отверстий несколько больше диаметра иглы для подвешивания фигуры.

Подвесить фигуру сначала в одной точке (отверстии), прочертить карандашом линию, совпадающую с нитью отвеса. То же повторить при подвешивании фигуры в других точках. Значение координат центра тяжести фигуры, найденных при подвешивании фигуры в двух точках: . Центр тяжести фигуры, найденный опытным путем, должны совпадать.

3.Заключение о положении центра тяжести при аналитическом и опытном определении.

Задание

Определить центр тяжести плоского сечения аналитическим и опытным путем.

Пример выполнения

Задача

Определить координаты центра тяжести тонкой однородной пластины.

I Аналитический способ

1. Чертеж вычерчивается в масштабе (размеры обычно даны в мм)

2. Сложную фигуру разбиваем на простые.

1- Прямоугольник

2- Треугольник (прямоугольник)

3- Площадь полуокружности (ее нет, знак минус).

Находим положение центра тяжести простых фигур точек , и

3. Проводим оси координат как удобно и отмечаем начало координат т. О.

4. Вычисляем площади простых фигур и площадь всей фигуры. [размер в см]

(3. нет, знак -).

Площадь всей фигуры

5. Находим координату ц.т. , и на чертеже.

6. Вычисляем координаты точек C 1 , C 2 и C 3

7. Вычисляем координаты точки C

8. На чертеже отмечаем точку

II Опытным путем

Координаты центра тяжести опытным путем .

Контрольные вопросы.

1. Можно ли рассматривать силу тяжести тела как равнодействующую систему параллельных сил?

2. Может ли располагаться центр тяжести все самого тела?

3. В чем сущность опытного определения центра тяжести плоской фигуры?

4. Как определяется центр тяжести сложной фигуры, состоящей из нескольких простых фигур?

5. Как следует рационально производить разбиение фигуры сложной формы на простые фигуры при определении центра тяжести всей фигуры?

6. Какой знак имеет площадь отверстий в формуле для определения центра тяжести?

7. На пересечении каких линий треугольника находится его центр тяжести?

8. Если фигуру трудно разбить на небольшое число простых фигур, какой способ определения центра тяжести может дать наиболее быстрый ответ?

Практическая работа №6

«Решение задач комплексного характера»

Цель работы: уметь решать задачи комплексного характера (кинематика, динамика)

Теоретическое обоснование: Скорость есть кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения. Скорость точки представляет собой вектор, характеризующий быстроту и направление движения точки в данный момент времени. При задании движения точки уравнениями проекции скорости на оси декартовых координат равны:

Модуль скорости точки определяется по формуле

Направление скорости определяется направляющими косинусами:

Характеристикой быстроты изменения скорости является ускорение а. Ускорение точки равно производной от вектора скорости по времени:

При задании движения точки уравнения проекции ускорения на координатные оси равны:

Модуль ускорения:

Модуль полного ускорения

Модуль касательного ускорения определяется по формуле

Модуль нормального ускорения определяется по формуле

где – радиус кривизны траектории в данной точке.

Направление ускорения определяется направляющими косинусами

Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид

Угловая скорость тела:

Иногда угловую скорость характеризуют числом оборотов в минуту и обозначают буквой . Зависимость между и имеет вид

Угловое ускорение тела:

Сила, равная произведению массы данной точке на ее ускорение и направление в сторону прямопротивоположную ускорению точки, называется силой инерции.

Мощностью называется работа, выполненная силой в единицу времени

Основное уравнение динамики для вращательного движения

– момент инерции тела относительно оси вращения, есть сумма произведений масс материальных точек на квадрат расстояний их до этой оси

Задание

Тело массой m с помощью троса, наматываемого на барабан диаметром d, перемещается вверх или вниз по наклонной плоскости с углом наклона α. Уравнение движения тела S=f(t), уравнение вращения барабана , где S в метрах; φ - в радианах; t – в секундах. P и ω - соответственно мощность и угловая скорость на валу барабана в момент конца разгона или начала торможения. Время t 1 – время разгона (из состояния покоя до заданной скорости) или торможения (от заданной скорости до остановки). Коэффициент трения скольжения между телом и плоскостью –f. Потерями на трение на барабане, а также массой барабана пренебречь. При решении задач принять g=10 м/с 2

№ вар	α, град	Закон движения	Напр движ	m, кг	t 1 , c	d, м	P, кВт	, рад/с	f	Опред. величины
		S=0,8t 2	Вниз	-	-	0,20	4,0		0,20	m,t 1
		φ=4t 2	Вниз		1,0	0,30	-	-	0,16	P,ω
		S=1,5t-t 2	вверх	-	-	-	4,5		0,20	m, d
		ω=15t-15t 2	вверх	-	-	0,20	3,0	-	0,14	m,ω
		S=0,5t 2	Вниз		-	-	1,76		0,20	d,t 1
		S=1,5t 2	Вниз	-	0,6	0,24	9,9	-	0,10	m,ω
		S=0,9t 2	Вниз		-	0,18	-		0,20	P, t 1
		φ=10t 2	Вниз		-	0,20	1,92	-	0,20	P, t 1
		S=t-1,25t 2	вверх		-	-	-		0,25	P,d
		φ=8t-20t 2	вверх		-	0,20	-	-	0,14	P, ω

Пример выполнения

Задача 1 (рисунок 1).

Решение 1. Прямолинейное движение (рисунок 1, а). Точка, двигавшаяся равномерно, в некоторый момент времени получила новый закон движения , и через некоторый промежуток времени остановилась. Определить все кинематические характеристики движения точки для двух случаев; а) движение по прямолинейной траектории; б) движение по криволинейной траектории постоянного радиуса кривизны r=100см

Рисунок 1 (а).

Закон изменения скорости точки

Начальную скорость точки найдем из условия:

Время торможения до остановки найдем из условия:

при , отсюда .

Закон движения точки в период равномерного движения

Расстояние, пройденное точкой по траектории за период торможения,

Закон изменения касательного ускорения точки

откуда следует, что в период торможения точка двигалась равнозамедленно, так как касательное ускорение отрицательно и по значению постоянно.

Нормальное ускорение точки на прямолинейной траектории движения равно нулю, т.е. .

Решение 2. Криволинейное движение (рисунок 1, б).

Рисунок 1 (б)

В этом случае по сравнению со случаем прямолинейного движения остаются без изменения все кинематические характеристики, за исключением нормального ускорения.

Закон изменения нормального ускорения точки

Нормальное ускорение точки в начальный момент торможения

Принятая на чертеже нумерация положений точки на траектории: 1 – текущее положение точки в равномерном движении до начала торможения; 2 – положение точки в момент начала торможения; 3 – текущее положение точки в период торможения; 4 – конечное положение точки.

Задача 2.

Груз (рис. 2, а) поднимается с помощью барабанной лебедки. Диаметр барабана d=0,3м, а закон его вращения .

Разгон барабана длился до угловой скорости . Определить все кинематические характеристики движения барабана и груза.

Решение . Закон изменения угловой скорости барабана . Начальную угловую скорость найдем из условия: ; следовательно, разгон начался из состояния покоя. Время разгона найдем из условия: . Угол поворота барабана за период разгона .

Закон изменения углового ускорения барабана , отсюда следует, что в период разгона барабан вращался равноускоренно.

Кинематические характеристики груза равны соответствующим характеристикам любой точки тягового троса, а значит, и точки A, лежащей на ободе барабана (рис. 2, б). Как известно, линейные характеристики точки вращающегося тела определяются через его угловые характеристики.

Расстояние, пройденное грузом за период разгона, . Скорость груза в конце разгона .

Ускорение груза .

Закон движения груза .

Расстояние, скорость и ускорение груза можно было определить и иначе, через найденный закон движения груза:

Задача 3. Груз, перемещавшийся равномерно вверх по наклонной опорной плоскости, в некоторый момент времени получил торможение в соответствии с новым законом движения , где s – в метрах и t – в секундах. Масса груза m = 100кг, коэффициент трения скольжения между грузом и плоскостью f=0,25. Определить силу F и мощность на тяговом тросе для двух моментов времени: а) равномерное движение до начала торможения;

б) начальный момент торможения. При расчёте принять g=10 м/ .

Решение. Определяем кинематические характеристики движения груза.

Закон изменения скорости груза

Начальная скорость груза (при t=0)

Ускорение груза

Так как ускорение отрицательно, то движение – замедленное.

1. Равномерное движение груза.

Для определения движущей силы F рассматриваем равновесие груза, на который действует система сходящихся сил: сила на тросе F, сила тяжести груза G=mg, нормальная реакция опорной поверхности N и сила трения , направленная навстречу движению тела. По закону трения, . Выбираем направление координатных осей, как показано на чертеже, и составляем два уравнения равновесия для груза:

Мощность на тросе до начала торможения определим по известной формуле

Где м/с.

2. Замедленное движение груза.

Как известно, при неравномерном поступательном движении тела система действующих на него сил по направлению движения не является уравновешенной. Согласно принципу Даламбера (метод кинетостатики), тело в этом случае можно считать находящимся в условном равновесии, если ко всем действующим на него силам добавить силу инерции , вектор которой направлен противоположно вектору ускорения. Вектор ускорения в нашем случае направлен противоположно вектору скорости, так как груз движется замедленно. Составляем два уравнения равновесия для груза:

Мощность на тросе в момент начала торможения

Контрольные вопросы.

1. Как определить численное значение и направление скорости точки в данный момент?

2. Что характеризует нормальная и касательная составляющие полного ускорения?

3. Как перейти от выражения угловой скорости в мин -1 к ее выражению рад/с?

4. Что называют массой тела? Назовите единицу измерения массы

5. При каком движении материальной точки возникает сила инерции? Чему равно ее численное значение, как она направлена?

6. Сформулируйте принцип Даламбера

7. Возникает ли сила инерции при равномерном криволинейном движении материальной точки?

8. Что такое вращающий момент?

9. Как выражается зависимость между вращающим моментом и угловой скорости при данной передаваемой мощности?

10. Основное уравнение динамики для вращательного движения.

Практическая работа №7

«Расчет конструкций на прочность»

Цель работы: определять прочность, размеры сечения и допускаемую нагрузку

Теоретическое обоснование.

Зная силовые факторы и геометрические характеристики сечения при деформации растяжение (сжатие), мы можем определить напряжение по формулам. А что бы понять, выдержит ли наша деталь (вал, шестерня и т. д.) внешнюю нагрузку. Необходимо эту величину сравнить с допустимым напряжением.

Итак, уравнение статической прочности

На его основании решают 3 типа задач:

1) проверка прочности

2) определение размеров сечения

3) определение допускаемой нагрузки

Итак, уравнение статической жёсткости

На его основании решают также 3 типа задач

Уравнение статической прочности при растяжении (сжатии)

1) Первый тип - проверка прочности

т. е. решаем левую часть и сравниваем с допускаемым напряжением.

2) Второй тип - определение размеров сечения

из правой части площадь поперечного сечения

Сечение круг

отсюда диаметр d

Сечение прямоугольник

Сечение квадрат

A = a² (мм²)

Сечение полукруг

Сечения швеллер, двутавр, уголок и т. д.

Значения площади - из таблицы, принимается по ГОСТ

3) Третий тип - определение допустимой нагрузки;

принимается в меньшую сторону, целое число

ЗАДАНИЕ

Задача

А) Проверка прочности (проверочный расчет)

Для заданного бруса построить эпюру продольных сил и проверить прочность на обоих участках. Для материала бруса (сталь Ст3) принять

№ варианта
	12,5	5,3	-			-
		2,3			-	-
		4,2		-	-

Б) Подбор сечения (проектный расчет)

Для заданного бруса построить эпюру продольных сил и определить размеры поперечного сечения на обоих участках. Для материала бруса (сталь Ст3) принять

№ варианта
	1,9	2,5

	2,8	1,9
	3,2

В) Определение допускаемой продольной силы

Для заданного бруса определить допускаемые значения нагрузок и ,

построить эпюру продольных сил. Для материала бруса (сталь Ст3) принять . При решении задачи считать, что на обоих участках бруса вид нагружения одинаков.

№ варианта
	-	-
			-	-
	-	-

Пример выполнения задания

Задача 1 (рисунок 1).

Проверить прочность колонны, выполненной из двутавровых профилей заданного размера. Для материала колонны (сталь Ст3) принять допускаемые напряжения при растяжении и при сжатии . В случае наличия перезагрузки или значительной недогрузки подобрать размеры двутавров, обеспечивающие оптимальную прочность колонны.

Решение.

Заданный брус имеет два участка 1, 2. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы. Так как силы, нагружающие брус, расположены по его центральной продольной оси, то в поперечных сечениях возникает лишь один внутренний силовой фактор – продольная сила , т.е. имеет место растяжение (сжатие) бруса.

Для определения продольной силы применяем метод сечений метод сечений. Проводя мысленно сечение в пределах каждого из участков, будем отбрасывать нижнюю закрепленную часть бруса и оставлять для рассмотрения верхнюю часть. На участке 1 продольная сила постоянна и равна

Знак минус указывает на то, что на обоих участках брус сжат.

Строим эпюру продольных сил . Проведя параллельно оси бруса базовую (нулевую) линию эпюры, откладываем перпендикулярно ей в произвольном масштабе полученные значения . Как видим, эпюра оказалась очерчена прямыми линиями, параллельными базовой.

Выполняем проверку прочности бруса, т.е. определяем расчетное напряжение (для каждого участка в отдельности) и сравниваем его с допускаемым. Для этого используем условие прочности при сжатии

где площадь является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения. Из таблицы прокатной стали берем:

для двутавра
для двутавра

Проверка прочности:

Значения продольных сил взяты по абсолютной величине.

Прочность бруса обеспечена, однако имеет место значительная (более 25%) недогрузка, что недопустимо вследствие перерасхода материала.

Из условия прочности определяем новые размеры двутавра для каждого из участков бруса:
Отсюда требуемая площадь

По таблице ГОСТа выбираем двутавр № 16 , для которого ;

Отсюда требуемая площадь

По таблице ГОСТа выбираем двутавр №24, для которого ;

При выбранных размерах двутавров также имеет место недогрузка, однако незначительная (менее 5%)

Задача №2.

Для бруса с заданными размерами поперечного сечения определить допускаемые значения нагрузок и . Для материала бруса (сталь Ст3) принять допускаемые напряжения при растяжении и при сжатии .

Решение.

Заданный брус имеет два участка 1, 2. Имеет место растяжение (сжатие) бруса.

Применяя метод сечений, определяем продольную силу , выражая ее через искомые силы и . Проводя в пределах каждого из участков сечение, будем отбрасывать левую часть бруса и оставлять для рассмотрения правую часть. На участке 1 продольная сила постоянна и равна

На участке 2 продольная сила также постоянна и равна

Знак плюс указывает на то, что на обоих участкахбрус растянут.

Строим эпюру продольных сил . Эпюра очерчена прямыми линиями, параллельными базовой.

Из условия прочности при растяжении определяем допускаемые значения нагрузок и предварительно вычислив площади заданных поперечных сечений:

Контрольные вопросы.

1. Какие внутренние силовые факторы возникают в сечении бруса при растяжении и сжатии?

2. Запишите условие прочности при растяжении и сжатии.

3. Как назначают знаки продольной силы и нормального напряжения?

4. Как изменится величина напряжения, если площадь поперечного сечения возрастет в 4 раза?

5. Различаются ли условия прочности при расчете на растяжение и расчете на сжатие?

6. В каких единицах измеряется напряжение?

7. Какая из механических характеристик выбирается в качестве предельного напряжения для пластичных и хрупких материалов?

8. В чем разница между предельным и допускаемым напряжением?

Практическая работа №8

«Решение задач по определению главных центральных моментов инерции плоских геометрических фигур»

Цель работы: определить аналитическим путем моменты инерции плоских тел сложной формы

Теоретическое обоснование. Координаты центра тяжести сечения можно выразить через статический момент:

где относительно оси Оx

относительно оси Оy

Статический момент площади фигуры относительно оси, лежащей в этой же плоскости, равен произведению площади фигуры на расстояние ее центра тяжести до этой оси. Статический момент имеет размерность . Статический момент может быть величиной положительной, отрицательной и равен нулю (относительно любой центральной оси).

Осевым моментом инерции сечения называется взятая по всему сечению сумма произведений или интеграл элементарных площадок на квадраты их расстояний до некоторой оси, лежащей в плоскости рассматриваемого сечения

Осевой момент инерции выражается в единицах - . Осевой момент инерции- величина всегда положительная и не равна нулю.

Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными. Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

Момент инерции относительно какой-либо оси равен центра

– вычислению центра тяжести плоской ограниченной фигуры . Многие читатели интуитивно понимают, что такое центр тяжести, но, тем не менее, рекомендую повторить материал одного из уроков аналитической геометрии , где я разобрал задачу о центре тяжести треугольника и в доступной форме расшифровал физический смысл этого термина.

В самостоятельных и контрольных заданиях для решения, как правило, предлагается простейший случай – плоская ограниченная однородная фигура, то есть фигура постоянной физической плотности – стеклянная, деревянная, оловянная чугунные игрушки, тяжёлое детство и т.д. Далее по умолчанию речь пойдёт только о таких фигурах =)

Первое правило и простейший пример : если у плоской фигуры есть центр симметрии , то он является центром тяжести данной фигуры . Например, центр круглой однородной пластины. Логично и по-житейски понятно – масса такой фигуры «справедливо распределена во все стороны» относительно центра. Верти – не хочу.

Однако в суровых реалиях вам вряд ли подкинут сладкую эллиптическую шоколадку , поэтому придётся вооружиться серьёзным кухонным инструментом:

Координаты центра тяжести плоской однородной ограниченной фигуры рассчитываются по следующим формулам :

, или :

, где – площадь области (фигуры); или совсем коротко :

, где

Интеграл будем условно называть «иксовым» интегралом, а интеграл – «игрековым» интегралом.

Примечание-справка : для плоской ограниченной неоднородной фигуры, плотность которой задана функцией , формулы более сложные:
, где – масса фигуры; в случае однородной плотности они упрощаются до вышеприведённых формул.

На формулах, собственно, вся новизна и заканчивается, остальное – это ваше умение решать двойные интегралы , кстати, сейчас предоставляется прекрасная возможность потренироваться и усовершенствовать свою технику. А совершенству, как известно, нет предела =)

Закинемся бодрящей порцией парабол:

Пример 1

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение : линии здесь элементарны: задаёт ось абсцисс, а уравнение – параболу, которая легко и быстро строится с помощью геометрических преобразований графиков :

– парабола , сдвинутая на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз.

Я выполню сразу весь чертёж с готовой точкой центра тяжести фигуры:

Правило второе : если у фигуры существует ось симметрии , то центр тяжести данной фигуры обязательно лежит на этой оси .

В нашем случае фигура симметрична относительно прямой , то есть фактически мы уже знаем «иксовую» координату точки «эм».

Также обратите внимание, что по вертикали центр тяжести смещён ближе к оси абсцисс, поскольку там фигура более массивна.

Да, возможно, ещё не все до конца поняли, что такое центр тяжести: пожалуйста, поднимите вверх указательный палец и мысленно поставьте на него заштрихованную «подошву» точкой . Теоретически фигура не должна упасть.

Координаты центра тяжести фигуры найдём по формулам , где .

Порядок обхода области (фигуры) здесь очевиден:

Внимание! Определяемся с наиболее выгодным порядком обхода один раз – и используем его для всех интегралов!

1) Сначала вычислим площадь фигуры. Ввиду относительной простоты интеграла решение можно оформить компактно, главное, не запутаться в вычислениях:

Смотрим на чертёж и прикидываем по клеточкам площадь. Получилось около дела.

2) Иксовая координата центра тяжести уже найдена «графическим методом», поэтому можно сослаться на симметрию и перейти к следующему пункту. Однако так делать всё-таки не советую – велика вероятность, что решение забракуют с формулировкой «используйте формулу».

Заметьте, что здесь можно обойтись исключительно устными вычислениями – иногда совсем не обязательно приводить дроби к общему знаменателю или мучить калькулятор.

Таким образом:
, что и требовалось получить.

3) Найдём ординату центра тяжести. Вычислим «игрековый» интеграл:

А вот тут без калькулятора пришлось бы тяжко. На всякий случай закомментирую, что в результате умножения многочленов получается 9 членов, причём некоторые из них подобны. Подобные слагаемые я привёл устно (как это обычно принято делать в похожих случаях) и сразу записал итоговую сумму .

В результате:
, что очень и очень похоже на правду.

На заключительном этапе отмечаем на чертеже точку . По условию не требовалось ничего чертить, но в большинстве задач мы волей-неволей вынуждены изобразить фигуру. Зато есть безусловный плюс – визуальная и довольно эффективная проверка результата.

Ответ :

Следующие два примера для самостоятельного решения.

Пример 2

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

Кстати, если вы представляете, как расположена парабола и увидели точки, в которых она пересекает ось , то здесь и на самом деле можно обойтись без чертежа.

И посложнее:

Пример 3

Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

В случае затруднений с построением графиков, изучите (повторите) урок о параболах и/или Пример №11 статьи Двойные интегралы для чайников .

Примерные образцы решений в конце урока.

Кроме того, десяток-другой похожих примеров можно найти в соответствующем архиве на странице Готовые решения по высшей математике .

Ну а я не могу не порадовать любителей высшей математики, которые часто просят меня разбирать и трудные задачки:

Пример 4

Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями . Фигуру и её центр тяжести изобразить на чертеже.

Решение : условие данной задачи уже категорично требует выполнения чертежа. А ведь требование не настолько и формально! – эту фигуру способен представить в уме даже человек со средним уровнем подготовки:

Прямая рассекает круг на 2 части, и дополнительная оговорка (см. линейные неравенства ) указывает на то, что речь идёт именно о маленьком заштрихованном кусочке.

Фигура симметрична относительно прямой (изображена пунктиром), поэтому центр тяжести должен лежать на данной линии. И, очевидно, что его координаты равны по модулю . Отличный ориентир, практически исключающий ошибочный ответ!

Теперь плохая новость =) На горизонте маячит малоприятный интеграл от корня, который мы подробно разобрали в Примере №4 урока Эффективные методы решения интегралов . И кто его знает, что там нарисуется ещё. Казалось бы, ввиду наличия окружности выгодно , однако не всё так просто. Уравнение прямой преобразуется к виду и интегралы тоже получатся не сахарные (хотя фанаты тригонометрических интегралов оценят). В этой связи осмотрительнее остановиться на декартовых координатах.

Порядок обхода фигуры:

1) Вычислим площадь фигуры:

Первый интеграл рациональнее взять подведением под знак дифференциала :

А во втором интеграле проведём стандартную замену :

Вычислим новые пределы интегрирования:

2) Найдём .

Здесь во 2-м интеграле опять был использован метод подведения функции под знак дифференциала . Отработайте и возьмите на вооружение эти оптимальные (по моему мнению) приёмы решения типовых интегралов.

После непростых и длительных вычислений вновь обращаем свой взор на чертёж (помним, что точки мы пока не знаем! ) и получаем глубокое моральное удовлетворение от найденного значения .

3) Исходя из проведённого ранее анализа, осталось убедиться, что .

Отлично:

Изобразим точку на чертеже. В соответствии с формулировкой условия запишем её как окончательный ответ :

Похожее задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями . Выполнить чертёж.

Эта задача интереса тем, что в ней задана фигура достаточно малых размеров, и если где-нибудь допустить ошибку, то высока вероятность вообще «не попасть» в область. Что, безусловно, хорошо с точки зрения контроля решения.

Примерный образец оформления в конце урока.

Иногда бывает целесообразен переход к полярным координатам в двойных интегралах . Это зависит от фигуры. Искал-искал у себя удачный пример, но не нашёл, поэтому продемонстрирую ход решения на 1-й демо-задаче указанного выше урока:

Напоминаю, что в том примере мы перешли к полярным координатам , выяснили порядок обхода области и вычислили её площадь

Давайте найдём центр тяжести данной фигуры. Схема та же: . Значение просматривается прямо из чертежа, а «иксовая» координата должна быть смещена чуть ближе к оси ординат, поскольку там располагается более массивная часть полукруга.

В интегралах используем стандартные формулы перехода:

Правдоподобно, скорее всего, не ошиблись.

Предыдущая статья: Мужчина Дева и женщина Водолей - совместимость от А до Я Следующая статья: Петух и Свинья (Кабан): совместимость женщины и мужчины в браке и любви