Функция и способы ее задания. Способы задания функций

Что означают слова "задать функцию"? Они означают: объяснить всем желающим, о какой конкретной функции идёт речь. Причём, объяснить чётко и однозначно!

Как это можно сделать? Как задать функцию?

Можно написать формулу. Можно нарисовать график. Можно составить табличку. Любой способ - это какое-то правило, по которому можно узнать значение игрека для выбранного нами значения икса. Т.е. "задать функцию" , это значит - показать закон, правило, по которому икс превращается в игрек.

Обычно, в самых различных заданиях присутствуют уже готовые функции. Они нам уже заданы. Решай себе, да решай.) Но... Чаще всего школьники (да и студенты) работают с формулами. Привыкают, понимаешь... Так привыкают, что любой элементарный вопрос, относящийся к другому способу задания функции, тотчас огорчает человека...)

Во избежание подобных случаев, имеет смысл разобраться с разными способами задания функций. Ну и, конечно, применить эти знания к "хитрым" вопросам. Это достаточно просто. Если знаете, что такое функция...)

Поехали?)

Аналитический способ задания функции.

Самый универсальный и могучий способ. Функция, заданная аналитически, это функция, которая задана формулами. Собственно, это и есть всё объяснение.) Знакомые всем (хочется верить!)) функции, например: y = 2x, или y = x 2 и т.д. и т.п. заданы именно аналитически.

К слову сказать, не всякая формула может задавать функцию. Не в каждой формуле соблюдается жёсткое условие из определения функции. А именно - на каждый икс может быть только один игрек. Например, в формуле у = ±х , для одного значения х=2, получается два значения у: +2 и -2. Нельзя этой формулой задать однозначную функцию. А с многозначными функциями в этом разделе математики, в матанализе, не работают, как правило.

Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что если у вас есть формула - вы знаете про функцию всё! Вы можете составить табличку. Построить график. Исследовать эту функцию по полной программе. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция. Весь матанализ стоит именно на таком способе задания функций. Скажем, взять производную от таблицы крайне затруднительно...)

Аналитический способ достаточно привычен и проблем не создаёт. Разве что некоторые разновидности этого способа, с которыми сталкиваются студенты. Я про параметрическое и неявное задание функций.) Но такие функции - в специальном уроке.

Переходим к менее привычным способам задания функции.

Табличный способ задания функции.

Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. В этой таблице каждому иксу соответствует (ставится в соответствие ) какое-то значение игрека. В первой строчке - значения аргумента. Во второй строчке - соответствующие им значения функции, например:

Таблица 1.

Прошу обратить внимание! В данном примере игрек зависит от икса как попало. Я специально так придумал.) Нет никакой закономерности. Ничего страшного, так бывает. Значит, именно так я задал эту конкретную функцию. Именно так я установил правило, по которому икс превращается в игрек.

Можно составить другую табличку, в которой будет закономерность. Этой табличкой будет задана другая функция, например:

Таблица 2.

Уловили закономерность? Здесь все значения игрека получаются умножением икса на двойку. Вот и первый "хитрый" вопрос: можно ли функцию, заданную с помощью Таблицы 2, считать функцией у = 2х ? Подумайте пока, ответ будет ниже, в графическом способе. Там это всё очень наглядно.)

Чем хорош табличный способ задания функции? Да тем, что считать ничего не надо. Всё уже посчитано и написано в таблице.) А более ничего хорошего нет. Мы не знаем значения функции для иксов, которых нет в таблице. В этом способе такие значения икса просто не существуют. Кстати, это подсказка к хитрому вопросу.) Мы не можем узнать, как ведёт себя функция за пределами таблицы. Ничего не можем. Да и наглядность в этом способе оставляет желать лучшего... Для наглядности хорош графический способ.

Графический способ задания функции.

В данном способе функция представлена графиком. По оси абсцисс откладывается аргумент (х), а по оси ординат - значение функции (у). По графику тоже можно выбрать любой х и найти соответствующее ему значение у . График может быть любой, но... не какой попало.) Мы работаем только с однозначными функциями. В определении такой функции чётко сказано: каждому х ставится в соответствие единственный у . Один игрек, а не два, или три... Для примера, посмотрим на график окружности:

Окружность, как окружность... Почему бы ей не быть графиком функции? А давайте найдем, какой игрек будет соответствовать значению икса, например, 6? Наводим курсор на график (или касаемся рисунка на планшете), и... видим, что этому иксу соответствует два значения игрека: у=2 и у=6.

Два и шесть! Стало быть, такой график не будет графическим заданием функции. На один икс приходится два игрека. Не соответствует этот график определению функции.

Но если условие однозначности выполнено, график может быть совершенно любым. Например:

Эта самая кривулина - и есть закон, по которому можно перевести икс в игрек. Однозначный. Захотелось нам узнать значение функции для х = 4, например. Надо найти четвёрку на оси иксов и посмотреть, какой игрек соответствует этому иксу. Наводим мышку на рисунок и видим, что значение функции у для х=4 равно пяти. Какой формулой задано такое превращение икса в игрек - мы не знаем. И не надо. Графиком всё задано.

Теперь можно вернуться к "хитрому" вопросу про у=2х. Построим график этой функции. Вот он:

Разумеется, при рисовании этого графика мы не брали бесконечное множество значений х. Взяли несколько значений, посчитали у, составили табличку - и всё готово! Самые грамотные вообще всего два значения икса взяли! И правильно. Для прямой больше и не надо. Зачем лишняя работа?

Но мы совершенно точно знали, что икс может быть любым. Целым, дробным, отрицательным... Любым. Это по формуле у=2х видно. Поэтому смело соединили точки на графике сплошной линией.

Если же функция будет нам задана Таблицей 2, то значения икса нам придётся брать только из таблицы. Ибо другие иксы (и игреки) нам не даны, и взять их негде. Нет их, этих значений, в данной функции. График получится из точек. Наводим мышку на рисунок и видим график функции, заданной Таблицей 2. Значения икс-игрек на осях я не писал, разберётесь, поди, по клеточкам?)

Вот и ответ на "хитрый" вопрос. Функция, заданная Таблицей 2 и функция у=2х - разные.

Графический способ хорош своей наглядностью. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает. где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции. А уж в теме с производной, задания с графиками - сплошь и рядом!

Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь... Мы с графиками дружить будем.)

Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели. Но на вопрос: "А четвёртый!?" - зависает основательно.)

Такой способ есть.

Словесное описание функции.

Да-да! Функцию можно вполне однозначно задать словами. Великий и могучий русский язык на многое способен!) Скажем, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Вот так! Правило установлено, функция задана.

Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно. Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить. И график построить. Кстати, график забавный получается...) Попробуйте.

Способ словесного описания - способ достаточно экзотичный. Но иногда встречается. Здесь же я его привёл, чтобы придать вам уверенности в неожиданных и нестандартных ситуациях. Нужно просто понимать смысл слов "функция задана..." Вот он, этот смысл:

Если есть закон однозначного соответствия между х и у - значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен - формулой, табличкой, графиком, словами, песнями, плясками - сути дела не меняет. Этот закон позволяет по значению икса определить соответствующее значение игрека. Всё.

Сейчас мы применим эти глубокие знания к некоторым нестандартным заданиям.) Как и обещано в начале урока.

Задание 1:

Функция у = f(x) задана Таблицей 1:

Таблица 1.

Найти значение функции p(4), если p(х)= f(x) - g(x)

Если вы вообще не можете понять, что к чему - прочитайте предыдущий урок "Что такое функция?" Там про такие буковки и скобочки очень понятно написано.) А если вас смущает только табличная форма, то разбираемся здесь.

Из предыдущего урока ясно, что, если, p(х) = f(x) - g(x) , то p(4) = f(4) - g(4) . Буквы f и g означают правила, по которым каждому иксу ставится в соответствие свой игрек. Для каждой буквы (f и g ) - своё правило. Которое задано соответствующей таблицей.

Значение функции f(4) определяем по Таблице 1. Это будет 5. Значение функции g(4) определяем по Таблице 2. Это будет 8. Остаётся самое трудное.)

p(4) = 5 - 8 = -3

Это правильный ответ.

Решить неравенство f(x) > 2

Вот-те раз! Надо решить неравенство, которое (в привычной форме) блистательно отсутствует! Остаётся либо бросать задание, либо включить голову. Выбираем второе и рассуждаем.)

Что значит решить неравенство? Это значит, найти все значения икса, при которых выполняется данное нам условие f(x) > 2 . Т.е. все значения функции (у ) должны быть больше двойки. А у нас на графике игрек всякий есть... И больше двойки есть, и меньше... А давайте, для наглядности, по этой двойке границу проведём! Наводим курсор на рисунок и видим эту границу.

Строго говоря, эта граница есть график фукции у=2, но это не суть важно. Важно то, что сейчас на графике очень хорошо видно, где, при каких иксах, значения функции, т.е. у, больше двойки. Они больше при х> 3. При х> 3 вся наша функция проходит выше границы у=2. Вот и всё решение. Но выключать голову ещё рано!) Надо ещё ответ записать...

На графике видно, что наша функция не простирается влево и вправо на бесконечность. Об этом точки на концах графика говорят. Кончается там функция. Стало быть, в нашем неравенстве все иксы, которые уходят за пределы функции смысла не имеют. Для функции этих иксов не существует. А мы, вообще-то, неравенство для функции решаем...

Правильный ответ будет:

3 < х ≤ 6

Или, в другой форме:

х ∈ (3; 6]

Теперь всё, как надо. Тройка не включается в ответ, т.к. исходное неравенство строгое. А шестёрка включается, т.к. и функция при шестёрке существует, и условие неравенства выполняется. Мы успешно решили неравенство, которого (в привычной форме) нету...

Вот так некоторые знания и элементарная логика спасают в нестандартных случаях.)

Одними из классических определений понятия «функция» считаются определения на базе соответствий. Приведем ряд таких определений.

Определение 1

Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называется функцией .

Определение 2

Пусть даны два непустых множества $X$ и $Y$. Соответствие $f$, которое каждому $x\in X$ сопоставляет один и только один $y\in Y$ Называется функцией ($f:X → Y$).

Определение 3

Пусть $M$ и $N$ - два произвольных числовых множества. Говорят, что на $M$ определена функция $f$, принимающая значения из $N$, если каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие один и только один элемент из $N$.

Следующее определение дается через понятие переменной величины. Переменной величиной называется величина, которая в данном исследовании принимает различные числовые значения.

Определение 4

Пусть $M$ - множество значений переменной величины $x$. Тогда, сели каждому значению $x\in M$ соответствует одно определенное значение другой переменной величины $y$ есть функция величины $x$, определенной на множестве $M$.

Определение 5

Пусть $X$ и $Y$ - некоторые числовые множества. Функцией называется множество $f$ упорядоченных пар чисел $(x,\ y)$ таких, что $x\in X$, $y\in Y$ и каждое $x$ входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое $y$ входит, по крайней мере, в одну пару .

Определение 6

Всякое множество $f=\{\left(x,\ y\right)\}$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)$ таких, что для любых пар $\left(x",\ y"\right)\in f$ и $\left(x"",\ y""\right)\in f$ из условия $y"≠ y""$ следует, что $x"≠x""$ называется функцией или отображением .

Определение 7

Функция $f:X → Y$ - это множество $f$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$, таких, что для любого элемента $x\in X$ существует единственный элемент $y\in Y$ такой, что $\left(x,\ y\right)\in f$, то есть функция -- кортеж объектов $\left(f,\ X,\ Y\right)$.

В этих определениях

$x$ - независимая переменная.

$y$ - зависимая переменная.

Все возможные значения переменной $x$ называется областью определения функции , а все возможные значения переменной $y$ называется областью значения функции.

Аналитический способ задания функции

Для этого способа нам понадобится понятие аналитического выражения.

Определение 8

Аналитическим выражением называется произведение всех возможных математических операций над какими-либо числами и переменными.

Аналитическим способом задания функции и является её задание с помощью аналитического выражения.

Пример 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac{x+5}{x+2}$, $y=cos5x$.

Плюсы:

1. С помощью формул мы можем определить значение функции для любого определенного значения переменной $x$;
2. Функции, заданные таким способом можно изучать с помощью аппарата математического анализа.

Минусы:

1. Малая наглядность.
2. Иногда приходится производить очень громоздкие вычисления.

Табличный способ задания функции

Данный способ задания состоит в том, что для нескольких значений независимой переменной выписываются значения зависимой переменной. Все это вносится в таблицу.

Пример 2

Рисунок 1.

Плюс: Для любого значения независимой переменной $x$, которая внесена в таблицу, сразу узнается соответствующее значение функции $y$.

Минусы:

1. Чаще всего, нет полного задания функции;
2. Малая наглядность.

Приводятся основные способы задания функций: явный аналитический; интервальный; параметрический; неявный; задание функции с помощью ряда; табличный; графический. Примеры применения этих способов

Существуют следующие способы задания функции y = f(x) :

1. Явный аналитический способ по формуле вида y = f(x) .
2. Интервальный.
3. Параметрический: x = x(t) , y = y(t) .
4. Неявный, как решение уравнения F(x, y) = 0 .
5. В виде ряда, составленного из известных функций.
6. Табличный.
7. Графический.

Явный способ задания функции

При явном способе , значение функции определяется по формуле, представляющем собой уравнение y = f(x) . В левой части этого уравнения стоит зависимая переменная y , а в правой - выражение, составленное из независимой переменной x , постоянных, известных функций и операций сложения, вычитания, умножения и деления. Известными функциями являются элементарные функции и специальные функции, значения которых можно вычислить, используя средства вычислительной техники.

Вот несколько примеров явного задания функции с независимой переменной x и зависимой переменной y :
;
;
.

Интервальный способ задания функции

При интервальном способе задания функции , область определения разбивается на несколько интервалов, и функция задается отдельно для каждого интервала.

Вот несколько примеров интервального способа задания функции:

Параметрический способ задания функции

При параметрическом способе , вводится новая переменная, которую называют параметром. Далее задают значения x и y как функции от параметра, используя явный способ задания:
(1)

Вот примеры параметрического способа задания функции, используя параметр t :

Преимущество параметрического способа заключается в том, что одну и ту же функцию можно задать бесконечным числом способов. Например, функцию можно задать так:

А можно и так:

Такая свобода выбора, в некоторых случаях, позволяет применять этот способ для решения уравнений (см. «Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных »). Суть применения заключается в том, что мы подставляем в уравнение вместо переменных x и y две функции и . Затем задаем одну из них по собственному усмотрению, чтобы из получившегося уравнения можно было определить другую.

Также этот способ применяется для упрощения расчетов. Например, зависимость координат точек эллипса с полуосями a и b можно представить так:
.
В параметрическом виде этой зависимости можно придать более простую форму:
.

Уравнения (1) - это не единственный способ параметрического задания функции. Можно вводить не один, а несколько параметров, связав их дополнительными уравнениями. Например можно ввести два параметра и . Тогда задание функции будет выглядеть так:

Здесь появляется дополнительное уравнение , связывающее параметры. Если число параметров равно n , то должно быть n - 1 дополнительных уравнений.

Пример применения нескольких параметров изложен на странице «Дифференциальное уравнение Якоби ». Там решение ищется в следующем виде:
(2) .
В результате получается система уравнений. Чтобы ее решить, вводят четвертый параметр t . После решения системы получается три уравнения, связывающие четыре параметра и .

Неявный способ задания функции

При неявном способе , значения функции определяется из решения уравнения .

Например, уравнение эллипса имеет вид:
(3) .
Это простое уравнение. Если мы рассматриваем только верхнюю часть эллипса, , то можно выразить переменную y как функцию от x явным способом:
(4) .
Но даже если можно свести (3) к явному способу задания функции (4), последней формулой не всегда удобно пользоваться. Например, чтобы найти производную , удобно дифференцировать уравнение (3), а не (4):
;
.

Задание функции рядом

Исключительно важным способом задания функции является ее представление в виде ряда , составленного из известных функций. Этот способ позволяет исследовать функцию математическими методами и вычислять ее значения для прикладных задач.

Самым распространенным представлением является задание функции с помощью степенного ряда. При этом используется ряд степенных функций:
.
Также применяется ряд и с отрицательными степенями:
.
Например, функция синус имеет следующее разложение:
(5) .
Подобные разложения широко применяются в вычислительной технике для вычисления значений функций, поскольку они позволяют свести вычисления к арифметическим операциям.

В качестве иллюстрации, вычислим значение синуса от 30°, используя разложение (5).
Переводим градусы в радианы:
.
Подставляем в (5):



.

В математике, на ряду со степенными рядами, широко применяются разложения в тригонометрические ряды по функциям и , а также по другим специальным функциям. С помощью рядов можно производить приближенные вычисления интегралов, уравнений (дифференциальных, интегральных, в частных производных) и исследовать их решения.

Табличный способ задания функции

При табличном способе задания функции мы имеем таблицу, которая содержит значения независимой переменной x и соответствующие им значения зависимой переменной y . Независимая и зависимая переменные могут иметь разные обозначения, но мы здесь используем x и y . Чтобы определить значение функции при заданном значении x , мы по таблице, находим значение x , наиболее близкое к нашему значению. После этого определяем соответствующее значение зависимой переменной y .

Для более точного определения значения функции, мы считаем, что функция между двумя соседними значениями x линейна, то есть имеет следующий вид:
.
Здесь - значения функции, найденные из таблицы, при соответствующих им значениях аргументов .
Рассмотрим пример. Пусть нам нужно найти значение функции при . Из таблицы находим:
.
Тогда

.
Точное значение:
.
Из этого примера видно, что применение линейной аппроксимации привело к повышению точности в определении значения функции.

Табличный способ применяется в прикладных науках. До развития вычислительной техники, он широко применялся в инженерных и других расчетах. Сейчас табличный способ применяется в статистике и экспериментальных науках для сбора и анализа экспериментальных данных.

Графический способ задания функции

При графическом способе , значение функции определяется из графика, по оси абсцисс которого откладываются значения независимой переменной, а по оси ординат - зависимой.

Графический способ дает наглядное представление о поведении функции. Результаты исследования функции часто иллюстрируют ее графиком. Из графика можно определить приближенное значение функции. Это позволяет использовать графический способ в прикладных и инженерных науках.

Функция и способы ее задания.

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа - основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Пример 1: функция E(x) - целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r - целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке = r.

Пример 2: функция y = {x} - дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x] - целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x - произвольное число, то представив его в виде x = r + q (r = [x]), где r - целое число и q лежит в интервале }



Предыдущая статья: Лексикография типы лингвистических словарей Следующая статья: АМГ низкий – диагноз бесплодие