Классическое и статистическое определение вероятности

Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера.

Количественной мерой возможности наступления события является вероятность . Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами , или случаями . При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн », т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов.

Исход называется благоприятствующим событию А , если появление этого случая влечет за собой появление события А .

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов , т.е.

,

(1.1)

где Р(А) – вероятность события А ; m – число случаев благоприятствующих событию А ; n – общее число случаев.

Пример 1.1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение. Все n = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А – «появление четного числа очков» – благоприятствуют 3 исхода (случая) – выпадение 2, 4 или 6 очков. По классической формуле вероятности события получаем

Р(А) = = . ◄

Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

0 ≤ Р (А ) ≤ 1.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения.

Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима.

Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определениевероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

,

(1.2)

где Р * (А) – статистическая вероятность события А ; w(A) – относительная частота события А ; m – число испытаний, в которых появилось событие А ; n – общее число испытаний.

В отличие от математической вероятности Р(А) , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р * (А) является характеристикой опытной , экспериментальной . Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(А) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий.

Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива , т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.

Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1 ), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G , ни от формы g , найдем

Вероямтность -- степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае -- невероятным или маловероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей или меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.

Классическое определение вероятности основано на понятии равно возможности исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место и они являются равновозможными. Данное классическое «определение» вероятности можно обобщить на случай бесконечного количества возможных значений -- например, если некоторое событие может произойти с равной вероятностью в любой точке (количество точек бесконечно) некоторой ограниченной области пространства (плоскости), то вероятность того, что оно произойдет в некоторой части этой допустимой области равна отношению объёма (площади) этой части к объёму (площади) области всех возможных точек.

Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в эконометрике, статистической физике макроскопических (термодинамических) систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу.

Возникновение понятия и теории вероятности

Первые работы об учении о вероятности относится к 17 веку. Такие как переписка французских учёных Б. Паскаля, П. Ферма (1654 год) и голландского учёного X. Гюйгенса (1657 год) давшего самую раннюю из известных научных трактовок вероятности]. По существу Гюйгенс уже оперировал понятием математического ожидания. Швейцарский математик Я. Бернулли, установил закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (посмертно, 1713 год). В XVIII в. -- начале ХIХ в. теория вероятностей получает развитие в работах А. Муавра (Англия)(1718 год), П. Лаплас (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Теория вероятностей начинает применяться в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы. Необходимо отметить, что закон распределения ошибок по сути предложил Лаплас сначала как экспоненциальная зависимость от ошибки без учета знака (в 1774 год), затем как экспоненциальную функцию квадрата ошибки (в 1778 году). Последний закон обычно называют распределением Гаусса или нормальным распределением. Бернулли (1778 год) ввел принцип произведения вероятностей одновременных событий. Адриен Мари Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов.

Во второй половине XIX в. развитие теории вероятностей связано с работами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего), а также работы по математической статистике А. Кетле (Бельгия) и Ф. Гальтона (Англия) и статистической физике Л. Больцмана (в Австрия), которые создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей. Наиболее распространённая в настоящее время логическая (аксиоматическая) схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым.

Классическое определение вероятности:

По классическому определению вероятность случайного события Р(А) равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов, составляющих пространство элементарных событий, т.е.

вероятность статический классический теория

Вычисление вероятностей при этом сводится к подсчету элементов того или иного множества и часто оказывается чисто комбинаторной задачей, иногда весьма трудной.

Классическое определение оправдано, когда существует возможность предсказания вероятности на основании симметрии условий, при которых происходит эксперимент, и вследствие этого симметрии исходов испытания, что приводит к понятию "равно возможности" исходов.

Например. Если сделанная из однородного материала геометрически правильная игральная кость подбрасывается так, что она успевает сделать достаточно большое число оборотов перед тем, как упасть, то выпадение любой из ее граней считается равновозможным исходом.

По тем же соображениям симметрии считаются равновозможными исходы такого эксперимента, как вынимание тщательно перемешанных и неотличимых на ощупь белых и черных шаров так, что после регистрации цвета каждый шар возвращается обратно в сосуд и после тщательного перемешивания производится извлечение следующего шара.

Чаще всего такая симметрия наблюдается в искусственно организованных экспериментах, какими являются азартные игры.

Таким образом, классическое определение вероятности связано с понятием равно возможности и используется для экспериментов, сводящихся к схеме случаев. Для этого необходимо, чтобы события e1, e2, en были несовместными, т. е. никакие два из них не могут появиться вместе; такими, что образуют полную группу, т. е. они исчерпывают собой все возможные исходы (не может быть так, что в результате опыта ни одно из них не произошло); равновозможными при условии, что эксперимент обеспечивает одинаковую возможность появления каждого из них.

Не всякий эксперимент удовлетворяет схеме случаев. Если нарушается условие симметрии, то нет схемы случаев.

Формула (1.1), "классическая формула", применялась для вычисления вероятностей событий с самого начала появления науки о случайных явлениях.

Те опыты, которые не обладали симметрией, "подгонялись" под схему случаев. В настоящее время наряду с "классической формулой" существуют способы вычисления вероятностей, когда эксперимент не сводится к схеме случаев. Для этого используется статистическое определение вероятности.

Понятие статистической вероятности будет введено позднее, а сейчас вернемся к классической формуле.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Опыт состоит в бросании двух монет. Найти вероятность того, что появится хотя бы один герб.

Решение. Случайное событие А - появление хотя бы одного герба.

Пространство элементарных событий в данном эксперименте определяется следующими исходами: Е = {ГГ, ГР, РГ, РР}, которые соответственно обозначаются e1, e2, e3, e4. Таким образом,

E=e1, e2, e3, e4; n=4.

Необходимо определить число исходов из Е, которые благоприятствуют появлению А. Это e1, e2, e3; их число m=3.

Используя классическую формулу определения вероятности события А, имеем

Пример 2. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Случайное событие А - появление белого шара. Пространство элементарных событий Е включает исходы e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, где ei - появление одного шара (белого или черного);

E={e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7}, n=7.

Случайному событию А в пространстве Е благоприятствует 3 исхода; m=3. Следовательно,

Пример 3. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается два шара. Найти вероятность того, что оба будут белыми.

Решение. Случайное событие А - оба шара будут белыми.

Пример 3 отличается от примера 2 тем, что в примере 3 исходами, составляющими пространство элементарных исходов Е, будут не отдельные шары, а комбинации из 7 шаров по 2. То есть, чтобы определить размерность Е, необходимо определить число комбинаций из 7 по 2. Для этого необходимо использовать формулы комбинаторики, которые приводятся в разделе "Комбинаторный метод". В данном случае для определения числа комбинаций из 7 по 2 используется формула для определения числа сочетаний

так как выбор производится без возвращения и порядок появления шаров неважен. Таким образом,

Число комбинаций, благоприятных для появления события А, определяется в виде

Следовательно, .

Статистическое определение вероятности

При рассмотрении результатов отдельных испытаний очень трудно найти какие-либо закономерности. Однако в последовательности одинаковых испытаний можно обнаружить устойчивость некоторых средних характеристик. Частостью какого-либо события в данной серии из n испытаний называется отношение m/n, числа m тех испытаний, в которых событие А наступило, к общему числу испытаний n. Почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частость события А устанавливается около определенного значения, которое принимается за вероятность событияА. Устойчивость значения частости подтверждается специальными экспериментами. Статистические закономерности такого рода были впервые обнаружены на примере азартных игр, т. е. на примере тех испытаний, которые характеризуются равно возможностью исходов. Это открыло путь для статистического подхода к численному определению вероятности, когда нарушается условие симметрии эксперимента. Частость события А называют статистической вероятностью, которая обозначается

где mA - число экспериментов, в которых появилось событие А;

n - общее число экспериментов.

Формулы (1.1) и (1.2) для определения вероятности имеют внешнее сходство, но они различны по существу. Формула (1.1) служит для теоретического вычисления вероятности события по заданным условиям опыта. Формула (1.2) служит для экспериментального определения частости события. Чтобы воспользоваться формулой (1.2), необходим опытный статистический материал.

Аксиоматический подход к определению вероятности

Третьим подходом к определению вероятности является аксиоматический подход, при котором вероятности задаются перечислением их свойств.

Принятое аксиоматическое определение вероятности было сформулировано в 1933 г. А. Н. Колмогоровым. В этом случае вероятность задается как числовая функция Р(А) на множестве всех событий, определяемых данным экспериментом, которая удовлетворяет следующим аксиомам:

P(A)=1, если А - достоверное событие.

Если А и В несовместны.

Основные свойства вероятности

Для каждого случайного события А определена его вероятность, причем.

Для достоверного события U имеет место равенство P(U)=1.Свойства 1 и 2 следуют из определения вероятности.

Если события А и В несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей. Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в частном случае (для несовместных событий).

Для произвольных событий А и В

Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в общем случае.

Для противоположных событий А и имеет место равенство.

Кроме этого, вводится невозможное событие, обозначенное, которому не способствует ни один исход из пространства элементарных событий. Вероятность невозможного события равна 0, P()=0 .

Пример. Вероятность того, что случайно выбранная в результате опроса семья имеет цветной, черно-белый или цветной и черно-белый телевизоры, равны соответственно 0.86; 0.35; 0.29. Какова вероятность, что семья имеет цветной или черно-белый телевизор?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что семья имеет цветной телевизор.

Событие В состоит в том, что семья имеет черно-белый телевизор.

Событие С состоит в том, что семья имеет или цветной, или черно-белый телевизор. Событие С определяется через А и В в виде, А и В совместны, поэтому

Комбинаторный метод

Во многих вероятностных проблемах необходимо перечислить все возможные исходы эксперимента или элементарные события, которые возможны в данной ситуации, или вычислить их количество. Для этого можно использовать следующие правила.

Правило 1. Если операция состоит из двух шагов, в которых первый может быть сделан n1 способами и второй может быть сделан n2 способами, то вся операция может быть сделана за n1·n2 способов.

Под словом "операция" подразумевается любая процедура, процесс или метод выбора.

Чтобы подтвердить это правило, рассмотрим операцию, которая состоит из шагов xi и yi, шаг x может быть осуществлен n1 способами, т.е. , шаг y может быть осуществлен n2 способами, т.е. , тогда ряд всех возможных способов может быть представлен следующими n1n2 парами:

Пример. Сколько возможных исходов имеется в эксперименте, который состоит в подбрасывании двух игральных костей.

Решение. Под x и y в этом случае понимается выпадение любой грани на первой кости и на второй кости. Выпадение грани на первой кости возможно шестью способами xi, ; выпадение грани второй кости возможно также шестью способами xj, .

Всего возможных способов 6.6=36.

Правило 2. Если операция состоит из k шагов, в которых первый может быть сделан n1 способами, второй n2 способами, третий способами и т. д., k-й - способами, то вся операция может быть сделана за n1·n2…nk шагов.

Пример. Инспектор качества хочет выбрать часть из каждого из четырех контейнеров, содержащих 4, 3, 5 и 4 частей соответственно. Сколькими способами он может это сделать?

Решение. Общее число способов определяется как 4·3·5·4=240.

Пример. Сколькими возможными способами может ответить студент в тесте из 20 вопросов, если на каждый вопрос он может ответить "да" или "нет"?

Решение. Всех возможных способов 2·2...2=220=1048576.

Часто на практике возникает ситуация, когда объекты должны быть упорядочены.

Например: сколькими различными способами 6 персон могут сесть вокруг стола? Различные их расположения называются перестановками.

Пример. Сколько перестановок возможно для букв a, b, c?

Решение. Возможные расположения abc, acb, bac, bca, cab, cba. Число возможных расположений равно шести.

Обобщая данный пример, для n объектов всего n·(n-1)(n-2)…3 ·2 ·1 различных способов или n!, т. е. число перестановок n!=1·2·3...·(n-2)(n-1)n, при этом 0!=1.

Правило 3. Число перестановок n различных объектов равно n!.

Пример. Число перестановок из четырех букв 4!=24, но какое число перестановок получится, если выбирать по 2 буквы из четырех?

Решение. Мы должны заполнить две позиции из четырех букв. Для первой позиции - 4 способа, для второй позиции - 3 способа. Следовательно, используя правило 1, имеем 4·3=12.

Обобщая этот пример на n различных объектов, из которых выбирается r объектов без возвращения для r > 0, всего способов n(n-1)...(n-r+1). Это число обозначим, а получаемые комбинации называются размещениями.

Правило 4. Число размещений из n объектов по r определяется как

(для r = 0,1,...,n).

Перестановки, когда объекты располагаются по кругу, называются круговыми перестановками. Две круговые перестановки не являются различными (а считаются только одной), если соответствующие объекты в двух расположениях имеют те же самые объекты слева и справа.

Например: если четыре персоны играют в бридж, мы не получим различных расположений, если все игроки передвинутся на один стул справа.

Пример. Сколько круговых перестановок возможно из четырех персон, играющих в бридж? Решение. Если произвольно взять позицию одного из четырех игроков как фиксированную, можно трех остальных игроков расположить 3! способами, другими словами, имеем шесть различных круговых перестановок.

Обобщая этот пример, получаем следующее правило.

Правило 5. Число перестановок из n различных предметов, расположенных по кругу, равно (n-1)!.

До сих пор предполагалось, что n объектов, из которых мы выбираем r объектов и формируем перестановки, являются различными. Таким образом, упомянутые ранее формулы не могут быть использованы для определения числа способов расположения букв в слове "book" или числа способов расположения трех копий одной новеллы и одной копии каждой из четырех других новелл на полке.

Пример. Сколько различных перестановок букв в слове "book"?

Решение. Если важно различать буквы O, то мы их обозначим O1, O2 и тогда будем иметь 4!=24 различных перестановок букв в O1, O2 и K. Однако если мы опускаем индексы, то O1 O2 и O2, O1уже не различаются, тогда общее число перестановок равно.

Пример. Сколько различных способов расположения трех копий одной новеллы и одной копии других четырех новелл на полке?

Решение. Если обозначить три копии первой новеллы как a1, a2, a3 и другие четыре новеллы - b, c, d и e, то в данном случае имеем 7! различных способов и 3! способа расположить a1, a2, a3.

Если опустить индексы, то различных способов расположения копий.

Обобщая эти рассуждения, получим следующее правило.

Правило 6. Число перестановок n объектов, в которых n1 одного сорта, n2 - второго сорта, …, nk - k-го сорта и n1+n2+...+nk=n,

Много задач, в которых необходимо определить число способов выбора r объектов из n различных объектов, не обращая внимания на порядок, в котором они выбираются. Такие комбинации называются сочетаниями.

Пример. Сколькими способами можно выбрать трех кандидатов из 20-ти человек для общественного опроса?

Решение. Если нам важен порядок при выборе кандидатов, то число комбинаций, но каждый ряд из трех кандидатов может быть выбран 3! Способами; если порядок выбора не важен, то всего способов выбора.

Комбинации без возращения r объектов из n различных объектов, которые отличаются самими объектами, но не их порядком, называются сочетаниями.

Правило 7. Число комбинаций по r объектов из n разных объектов определяется числом, число сочетаний может обозначаться как.

Пример. Сколькими различными способами можно при шести подбрасываниях монеты получить 2 герба и 4 решки?

Решение. Так как порядок получения гербов и решек не важен, то, применяя правило 7, получим.

Пример. Сколько разных комитетов из двух химиков и одного физика может быть сформировано на факультете небольшого колледжа, имеющего 4 химика и 3 физика.

Решение. Число комбинаций из четырех химиков по 2 может быть получено (шестью) способами.

Один из трех физиков может быть выбран (тремя) способами.

Число комитетов, в соответствии с правилом 1, определяется как 6·3=18.

Пример. Сколькими способами можно разбить ряд из четырех объектов на три ряда, содержащих соответственно два, один и один объекта?

Решение. Обозначим данные четыре объекта буквами a, b, c, d. Число разбиений на два, один и один будет 12:

Разбиение из двух объектов можно получить способами, что дает 6 возможностей. Число способов сформировать второе разбиение. И для третьего разбиения число способов равно 1.

Согласно правилу 2 всего способов разбиения (6·2·1)=12.

Обобщая данный пример, получаем следующее правило.

Правило 8. Число способов, с помощью которых ряд из n различных объектов может быть разбит на k частей с n1 объектами в 1-й части, n2 во 2-й части, … и nk в k-й, определяется как

Пример. Сколькими способами 7 бизнесменов могут быть размещены в одном трехкомнатном и двух двухкомнатных номерах в отеле?

Решение. Согласно правилу 8 это можно сделать (двухсотдесятью) способами.

Доказательство правила 8

Так как n1 объектов могут быть выбраны в ряд способами, n2 могут быть выбраны

Согласно правилу 2 всего число способов будет определяться в виде

Задание для самостоятельной работы

1. Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом.

Ответ: 0.066.

2. Из колоды карт (52 карты) наудачу извлекаются три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.

Ответ: 0.0029.

3. Имеются пять билетов стоимостью по 1 рублю;

три билета стоимостью по 3 рубля;

два билета стоимостью по 5 рублей.

Наугад выбирается три билета. Определить вероятность того, что:

а) хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость.

Ответ: 0.75;

б) все три билета стоят 7 рублей.

Ответ: 0.29.

4. В кошельке лежат три монеты достоинством по 20 копеек и семь монет достоинством по 3 копейки. Наудачу берется одна монета, а затем извлекается вторая монета достоинством в 20 копеек.

Определить вероятность того, что и первая монета имеет достоинство в 20 копеек.

Ответ: 0.22.

• 5. Из десяти билетов лотереи выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов:
  • а) один выигрышный;
  • б) два выигрышных;
  • в) хотя бы один выигрышный.

Ответ: 0.55, 0.22, 0.78.

6. В корзине имеется n шаров с номерами от 1 до n, шары извлекаются наудачу по одному без возвращения. Какова вероятность того, что при k первых извлечениях номера шаров совпадут с номерами извлечений.

Ответ: (n - k)!/n!

Использованная литература

• 1. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/theory_ver/tema2/tema2.html
• 2. http://free.megacampus.ru/xbookM0018/index.html?go=part-003*page.htm
• 3. http://www.testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti/35-1-0-1121
• 4. http://ru.wikipedia.org/
• 5. http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page15.html

Понятие вероятности события относится к фундаментальным понятиям теории вероятностей. Вероятность - это количественная мера возможности появления случайного события А. Обозначается она Р(А) и имеет следующие свойства.

Вероятность есть положительное число, заключенное в интервале от нуля до единицы:

Вероятность невозможного события равна нулю

Вероятность достоверного события равна единице

Классическое определение вероятности. Пусть = { 1 , 2 ,…, n } - пространство элементарных событий, которые описывают все возможные элементарные исходы и образуют полную группу несовместных и равновозможных событий. Пусть событию А соответствует подмножество m элементарных исходов

эти исходы называют благоприятствующими событию А. В классическом определении вероятности полагают, что вероятность любого элементарного исхода

а вероятность события А, которому благоприятствуют m исходов, равна

Отсюда определение:

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность определяется формулой

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, а _ число всех возможных элементарных исходов испытания.

Классическое определение вероятности дает возможность в некоторых задачах аналитически вычислить вероятность события.

Пусть проводится опыт, в результате которого могут наступить те или иные события. Если эти события образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, то говорят, что опыт обладает симметрией возможных исходов и сводится к "схеме случаев". Для опытов, которые сводятся к схеме случаев, применима классическая формула вероятности.

Пример 1.13. В лотерее разыгрывается 1000 билетов, среди которых 5 выигрышных. Определить вероятность того, что при покупке одного билета лотереи будет получен выигрыш

Элементарным событием этого опыта является покупка билета. Каждый билет лотереи неповторим, так как имеет свой номер, и купленный билет не возвращается обратно. Событие А заключается в том, что куплен выигрышный билет. При покупке одного из 1000 билетов всевозможных исходов этого опыта будет =1000, исходы образуют полную группу несовместных событий. Число исходов, благоприятных событию А, будет равно =5. Тогда вероятность получить выигрыш, купив один билет, равна

Р(А) = = 0.005

Для непосредственного подсчета вероятностей удобно применять формулы комбинаторики. Покажем это на примере задачи выборочного контроля.

Пример 1.14 Пусть имеется партия из изделий, среди них есть бракованных. Для контроля отбирается часть из изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных изделий будет ровно бракованных

Элементарным событием в этом опыте является выбор элементного подмножества из исходного элементного множества. Выбор любой части изделий из партии в изделий можно считать равновозможными событиями, поэтому данный опыт сводится к схеме случаев. Для вычисления вероятности события А={среди изделий бракованных, если они отбирались из партии в изделий с бракованными} можно применить классическую формулу вероятности. Число всех возможных исходов опыта - это число способов, которыми можно отобрать изделий из партии в, оно равно числу сочетаний из элементов по: . Событие, благоприятное событию А, состоит из произведения двух элементарных событий: {из бракованных изделий выбраны }{из _ стандартных изделий выбраны _}. Число таких событий, в соответствии с правилом умножения комбинаторики, будет

Тогда искомая вероятность

Например, пусть =100, =10, =10, =1. Тогда вероятность того, что среди отобранных 10 изделий будет ровно одно бракованное, равна

Статистическое определение вероятности. Для того, чтобы применить в условиях данного опыта классическое определение вероятности, необходимо, чтобы опыт соответствовал схеме случаев и для большинства реальных задач эти требования практически невыполнимы. Однако вероятность события - это объективная реальность, которая существует независимо от того, применимо или нет классическое определение. Возникает необходимость в другом определении вероятности, применимом тогда, когда опыт не отвечает схеме случаев.

Пусть эксперимент заключается в проведении серии испытаний, повторяющих один и тот же опыт, и пусть событие А наступило раз в серии из опытов. Относительной частотой события W(A) называют отношение числа опытов, в которых наступило событие А, к числу всех проведенных опытов

Экспериментально доказано, что частота обладает свойством устойчивости: если число опытов в серии достаточно велико, то относительные частоты события А в различных сериях одного и того же эксперимента мало отличаются друг от друга.

Статистической вероятностью события называют число, к которому стремятся относительные частоты, если число опытов неограниченно возрастает

В отличие от априорной (вычисленной до опыта) классической вероятности статистическая вероятность является апостериорной (полученной после опыта).

Пример 1.15 Метеорологические наблюдения в течении 10 лет в некоторой местности показали, что число дождливых дней в июле было в разные года равно: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Определить вероятность того, что какой-либо определенный день июля будет дождливым

Событие А заключается в том, что определенный день июля, например, 10 июля, пойдет дождь. Выданная статистика не содержит информации о том, в какие конкретно дни июля шел дождь, поэтому можно считать, что все дни равновозможные для этого события. Пусть один год - это одна серия испытаний из 31 одного дня. Всего серий 10. Относительные частоты серий равны:

Частоты различны, но наблюдается их группировка возле числа 0.1. Это число и можно принять за вероятность события А. Если за одну серию испытаний принять все дни июля за десять лет, то статистическая вероятность события А будет равна

Геометрическое определение вероятности. Это определение вероятности обобщает классическое определение на случай, когда пространство элементарных исходов включает несчетное множество элементарных событий, и появления каждого из событий одинаково возможно. Геометрической вероятностью события А называется отношение меры (А) области, благоприятствующей появлению события, к мере () всей области

Если области представляют собой а) длины отрезков, б) площади фигур, в) объемы пространственных фигур, то геометрические вероятности соответственно равны

Пример 1.16. Рекламные объявления развешены с интервалом в 10 метров вдоль торгового ряда. Широта обзора у некоторого покупателя составляет 3 метра. Какова вероятность того, что он не заметит рекламу, если он движется перпендикулярно торговому ряду и пересечь ряд может в любой точке?

Участок торгового ряда, расположенный между двумя объявлениями, можно представить как отрезок прямой АВ (рис. 1.6). Тогда для того, чтобы покупатель заметил объявления, он должен пройти через отрезки прямых АС или ДВ, равные 3м. Если же он пересечет торговый ряд в одной из точек отрезка СД, длина которого 4м, то он не заметит рекламы. Вероятность этого события будет

Вероятностью наступления события A называется число, равное отношению числа случаев, благоприятствующих событию A , к общему числу случаев (исходов, шансов или элементарных событий).

Вероятность (Р )

Где n ‒ общее число случаев, m ‒ число случаев, благоприятствующих событию А .

Вероятность невозможного события:

Вероятность достоверного события:

Вероятность любого случайного события:

0 ≤ P (A ) ≤ 1

Статистическое определение вероятности

Статистической вероятностью события A называется относительная частота появления события в n ‒ произведенных испытаниях.

Опытная (экспериментальная) вероятность:

Следовательно,– есть доля тех фактически произведённых испытаний, в которых событиеA появилось. При ,P (A ) ≈ (A )

Пример 1.

В коробке лежит 7 синих, 8 красных и 5 зеленых шаров.

Решение:

Событие A ‒ шар зеленый;

Пример 2.

В коробке лежат 100 электроламп, из них 5 бракованных.

Решение:

Событие A ‒ на удачу, выбранные 2 электролампы исправны.

Пример 3.

В коробке лежит 10 шаров: 6 белых и 4 черных.

Найти:

Вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 4 белых.

Решение:

Найдем число благоприятных исходов: число способов, которыми можно взять 4 белых шара из 6 имеющихся шаров, равно:

Общее число исходов определяется числом сочетаний из 10 по 5:

Искомая вероятность P = 15/252 ≈ 0,06.

Геометрическая вероятность , то есть вероятность попадания точки в некоторую область, отрезок, часть плоскости.

Геометрической вероятностью события A называют отношение меры области, благоприятствующей появлению события A , к мере всей области.

где mes ‒мера (длина, площадь, объём области).

4.Алгебра событий. Операции над случайными событиями.

Определение 1. Суммой двух событий A и B называется событие C , состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A или B .

Возможны два случая:

1. Если A и B несовместны, тогда A +B означает, что произойдет или A , или В .

2. Если A и B совместны, тогда A +B означает, что произойдет или A , или B , или A и B одновременно.

Определение 2. Произведением двух событий A и B называется событие C , состоящее в одновременном осуществлении событий A и B .

Пример 1. Из колоды карт наудачу вынули одну карту.

Событие A ‒ карта дама.

Событие B ‒ карта пиковой масти.

Тогда A + B ‒ вынутая карта или дама, или карта пиковой масти, или пиковая дама.

AB ‒ вынутая карта пиковая дама.

Правило произведения событий.

Если какой ни будь объект A можно выбрать m ‒ способами и после каждого такого выбора другой объект B можно выбрать k ‒ способами, то пары объектов «A и B одновременно» можно выбрать mk ‒ способами.

Пример 2.

В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных билетов.

Найти вероятность того, что среди первых 5‒ти наугад выбранных билетов 2 будут выигрышными.

Решение:

50 ‒ 8 = 42 ‒ билета невыигрышных.

Событие A ‒ среди первых 5‒ти билетов 2 выигрышных.

Пример3.

В ящике находится 10 стандартных и 5 нестан­дартных деталей.

Какова вероятность, что среди наугад взя­тых 6 деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?

Решение:

Общее число исходов равно

Число благо­приятных исходов определяется произведением

где пер­вый сомножитель соответствует числу вариантов изъятия из ящика 4‒х стандартных деталей из 10, а второй ‒ числу вари­антов изъятия из ящика 2‒х нестандартных деталей из пяти. Отсюда следует, что искомая вероятность равна

В экономике, так же как и в других областях человеческой деятельности или в природе, постоянно приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать. Так, объем продаж товара зависит от спроса, который может существенно изменяться, и от ряда других факторов, которые учесть практически нереально. Поэтому при организации производства и осуществлении продаж приходится прогнозировать исход такой деятельности на основе либо собственного предыдущего опыта, либо аналогичного опыта других людей, либо интуиции, которая в значительной степени тоже опирается на опытные данные.

Чтобы каким-то образом оценить рассматриваемое событие, необходимо учитывать или специально организовывать условия, в которых фиксируется это событие.

Осуществление определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента .

Событие называется случайным , если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Событие называется достоверным , если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным , если оно не может появиться в этом опыте.

Например, выпадение снега в Москве 30 ноября является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие.

Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.

Алгебра событий

События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном и том же опыте. Так, наличие двух и трех автомашин в одном магазине для продажи в одно и то же время — это два несовместных события.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий

В качестве примера суммы событий можно назвать наличие в магазине хотя бы одного из двух товаров.

Произведением событий называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий

Событие, состоящее в появлении одновременно в магазине двух товаров является произведением событий: -появление одного товара, — появление другого товара.

События образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в опыте.

Пример. В порту имеется два причала для приема судов. Можно рассмотреть три события: — отсутствие судов у причалов, — присутствие одного судна у одного из причалов, — присутствие двух судов у двух причалов. Эти три события образуют полную группу событий.

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.

Если одно из событий, являющихся противоположными, обозначить через , то противоположное событие обычно обозначают через .

Классическое и статистическое определения вероятности события

Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Их обычно обозначают буквами . Например, бросается игральная кость. Элементарных исходов всего может быть шесть по числу очков на гранях.

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Так, событие выпадения четного числа очков определяется тремя исходами: 2, 4, 6.

Количественной мерой возможности появления рассматриваемого события является вероятность.

Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое .

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

В приведенном примере рассматриваемое событие — четное число очков на выпавшей грани, имеет три благоприятствующих исхода. В данном случае известно и общее
количество возможных исходов. Значит, здесь можно использовать классическое определение вероятности события.

Классическое определение равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

где — вероятность события , — число благоприятствующих событию исходов, — общее число возможных исходов.

В рассмотренном примере

Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты появления события в опытах.

Относительная частота появления события вычисляется по формуле

где - число появления события в серии из опытов (испытаний).

Статистическое определение . Вероятностью события называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.

В практических задачах за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний.

Из данных определений вероятности события видно, что всегда выполняется неравенство

Для определения вероятности события на основе формулы (1.1) часто используются формулы комбинаторики, по которым находится число благоприятствующих исходов и общее число возможных исходов.

Предыдущая статья: Списание товаров «в минус» Следующая статья: Неправильно считает ндфл в 1с 8