Y ax2 bx c график. ГИА. Квадратичная функция
Презентация и урок на тему:
"График функции $y=ax^2+bx+c$. Свойства"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Дорофеева Г.В.
Пособие к учебнику Никольского С.М.
Ребята, на последних уроках мы строили большое количество графиков, в том числе много парабол. Сегодня мы обобщим полученные знания и научимся строить графики этой функции в самом общем виде.
Давайте рассмотрим квадратный трехчлен $a*x^2+b*x+c$. $а, b, c$ называются коэффициентами. Они могут быть любыми числами, но $а≠0$. $a*x^2$ называется старшим членом, $а$ – старшим коэффициентом. Стоит заметить, что коэффициенты $b$ и $c$ могут быть равными нулю, то есть трехчлен будет состоять из двух членов, а третий равен нулю.
Давайте рассмотрим функцию $y=a*x^2+b*x+c$. Это функция называется "квадратичной", потому что старшая степень вторая, то есть квадрат. Коэффициенты такие же, как определено выше.
На прошлом уроке в последнем примере, мы разобрали построение графика схожей функции.
Давайте докажем, что любую такую квадратичную функцию можно свести к виду: $y=a(x+l)^2+m$.
График такой функции строится с использованием дополнительной системы координат. В большой математике, числа встречаются довольно редко. Практически любую задачу требуется доказать в самом общем случае. Сегодня мы разберем одно из таких доказательств. Ребята, вы сможете, увидеть всю силу математического аппарата, но так же и его сложность.
Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac{b}{a}*x)+c=$
$=a(x^2+2\frac{b}{2a}*x+\frac{b^2}{4a})-\frac{b^2}{4a}+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$.
Мы получили, то что хотели.
Любую квадратичную функцию можно представить в виде:
$y=a(x+l)^2+m$, где $l=\frac{b}{2a}$, $m=\frac{4ac-b^2}{4a}$.
Для построения графика $y=a(x+l)^2+m$ нужно построить график функции $y=ax^2$. Причем вершина параболы будет находиться в точке с координатами $(-l;m)$.
Итак, наша функция $y=a*x^2+b*x+c$ - парабола.
Осью параболы будет являться прямая $x=-\frac{b}{2a}$, причем координаты вершины параболы по оси абсцисс, как мы можем заметить, вычисляется формулой: $x_{в}=-\frac{b}{2a}$.
Для вычисления координаты вершины параболы по оси ординат, вы можете:
- воспользоваться формулой: $y_{в}=\frac{4ac-b^2}{4a}$,
- напрямую подставить в исходную функцию координату вершины по $х$: $y_{в}=ax_{в}^2+b*x_{в}+c$.
Если требуется описать какие-то свойства или ответить на какие-то определенные вопросы, не всегда нужно строить график функции. Основные вопросы, на которые можно ответить без построения, рассмотрим в следующем примере.
Пример 1.
Без построения графика функции $y=4x^2-6x-3$ ответьте на следующие вопросы:
Решение.
а) Осью параболы служит прямая $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2*4}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
б) Абсциссу вершины мы нашли выше $x_{в}=\frac{3}{4}$.
Ординату вершины найдем непосредственной подстановкой в исходную функцию:
$y_{в}=4*(\frac{3}{4})^2-6*\frac{3}{4}-3=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}-\frac{12}{4}=-\frac{21}{4}$.
в) График, требуемой функции, получится параллельным переносом графика $y=4x^2$. Его ветви смотрят вверх, а значит и ветви параболы исходной функции также будет смотреть вверх.
Вообще, если коэффициент $а>0$, то ветви смотрят вверх, если коэффициент $a
Пример 2.
Построить график функции: $y=2x^2+4x-6$.
Решение.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{4}=-1$.
$y_{в}=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Отметим координату вершины на оси координат. В этой точке, как будто в новой системе координат построим параболу $y=2x^2$.
Существует множество способов, упрощающих построение графиков параболы.
- Мы можем найти две симметричные точки, вычислить значение функции в этих точках, отметить их на координатной плоскости и соединить их с вершиной кривой, описывающей параболу.
- Мы можем построить ветвь параболы правее или левее вершины и потом ее отразить.
- Мы можем строить по точкам.
Пример 3.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=-x^2+6x+4$
на отрезке $[-1;6]$.
Решение.
Построим график данной функции, выделим требуемый промежуток и найдем самую нижнюю и самую высокую точки нашего графика.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{-2}=3$.
$y_{в}=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
В точке с координатами $(3;13)$ построим параболу $y=-x^2$.
Выделим требуемый промежуток.
Самая нижняя точка имеет координату -3, самая высокая точка - координату 13.
$y_{наим}=-3$; $y_{наиб}=13$.
Задачи для самостоятельного решения
1. Без построения графика функции $y=-3x^2+12x-4$ ответьте на следующие вопросы:а) Укажите прямую, служащую осью параболы.
б) Найдите координаты вершины.
в) Куда смотрит парабола (вверх или вниз)?
2. Построить график функции: $y=2x^2-6x+2$.
3. Построить график функции: $y=-x^2+8x-4$.
4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=x^2+4x-3$ на отрезке $[-5;2]$.
Рассмотрим выражение вида ах 2 +вх+с, где а, в, с - действительные числа, а отлично от нуля. Это математическое выражение известно как квадратный трехчлен.
Напомним, что ах 2 - это старший член этого квадратного трехчлена, а - его старший коэффициент.
Но не всегда у квадратного трехчлена присутствуют все три слагаемые. Возьмем для примера выражение 3х 2 + 2х, где а=3, в=2, с=0.
Перейдем к квадратичной функции у=ах 2 +вх+с, где а, в, с - любые произвольные числа. Эта функция является квадратичной, так как содержит член второй степени, то есть х в квадрате.
Довольно легко построить график квадратичной функции, например, можно воспользоваться методом выделения полного квадрата.
Рассмотрим пример построения графика функции у равно -3х 2 - 6х + 1.
Для этого первое, что вспомним, схему выделения полного квадрата в трехчлене -3х 2 - 6х + 1.
Вынесем -3 у первых двух слагаемых за скобки. Имеем -3 умножить на сумму х квадрат плюс 2х и прибавить 1. Добавив и отняв единицу в скобках, получаем формулу квадрата суммы, которую можно свернуть. Получим -3 умножить на сумму (х+1) в квадрате минус 1 прибавить 1. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, выходит выражение: -3 умноженное на квадрат суммы (х+1) прибавить 4.
Построим график полученной функции, перейдя к вспомогательной системе координат с началом в точке с координатами (-1; 4).
На рисунке из видео эта система обозначена пунктирными линиями. Привяжем функцию у равно -3х 2 к построенной системе координат. Для удобства возьмем контрольные точки. Например, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). При этом отложим их в построенной системе координат. Полученная при построении парабола является необходимым нам графиком. На рисунке это красная парабола.
Применяя метод выделения полного квадрата, мы имеем квадратичную функцию вида: у = а*(х+1) 2 + m.
График параболы у = ах 2 + bx + c легко получить из параболы у=ах 2 параллельным переносом. Это подтверждено теоремой, которую можно доказать, выделив полный квадрат двучлена. Выражение ах 2 + bx + c после последовательных преобразований превращается в выражение вида: а*(х+l) 2 + m. Начертим график. Выполним параллельное перемещение параболы у = ах 2 , совмещая вершину с точкой с координатами (-l;m). Важно то, что х= -l, а значит -b/2а. Значит эта прямая является осью параболы ах 2 + bx + c, ее вершина находится в точке с абсциссой х нулевое равно минус в, деленное на 2а, а ордината вычисляется по громоздкой формуле 4ас - b 2 /. Но эту формулу запоминать не обязательно. Так как, подставив значение абсциссы в функцию, получим ординату.
Для определения уравнения оси, направления ее ветвей и координат вершины параболы, рассмотрим следующий пример.
Возьмем функцию у = -3х 2 - 6х + 1. Составив уравнение оси параболы, имеем, что х=-1. А это значение является координатой х вершины параболы. Осталось найти только ординату. Подставив значение -1 в функцию, получим 4. Вершина параболы находится в точке (-1; 4).
График функции у = -3х 2 - 6х + 1 получен при параллельном переносе графика функции у = -3х 2 , значит, и ведет себя аналогично. Старший коэффициент отрицателен, поэтому ветви направлены вниз.
Мы видим, что для любой функции вида y = ах 2 + bx + c, самым легким является последний вопрос, то есть направление веток параболы. Если коэффициент а положительный, то ветви - вверх, а если отрицательный, то - вниз.
Следующим по сложности идет первый вопрос, потому что требует дополнительных вычислений.
И самый сложный второй, так как, кроме вычислений, еще необходимы знания формул, по которым находятся х нулевое и у нулевое.
Построим график функции у = 2х 2 - х + 1.
Определяем сразу - графиком является парабола, ветви направлены вверх, так как старший коэффициент равен 2, а это положительное число. По формуле находим абсциссу х нулевое, она равна 1,5. Для нахождения ординаты вспомним, что у нулевое равно функции от 1,5, при вычислении получим -3,5.
Вершина - (1,5;-3,5). Ось - х=1,5. Возьмем точки х=0 и х=3. у=1. Отметим данные точки. По трем известным точкам строим искомый график.
Для построения графика функции ах 2 + bx + c необходимо:
Найти координаты вершины параболы и отметить их на рисунке, потом провести ось параболы;
На оси ох взять две симметричные, относительно оси, параболы точки, найти значение функции в этих точках и отметить их на координатной плоскости;
Через три точки построить параболу, при необходимости можно взять еще несколько точек и строить график по ним.
В следующем примере мы научимся находить наибольшее и наименьшее значения функции -2х 2 + 8х - 5 на отрезке .
По алгоритму: а=-2, в=8, значит х нулевое равно 2, а у нулевое - 3, (2;3) - вершина параболы, а х=2 является осью.
Возьмем значения х=0 и х=4 и найдем ординаты этих точек. Это -5. Строим параболу и определяем, что наименьшее значение функции -5 при х=0, а наибольшее 3, при х=2.
Плохой учитель преподносит истину, хороший учит её добывать.
А.Дистервег
Учитель : Нетикова Маргарита Анатольевна, учитель математики ГБОУ школа №471 Выборгского района Санкт- Петербурга.
Тема урока: «График функции y = ax 2 »
Тип урока: урок усвоения новых знаний.
Цель: научить учащихся строить график функцииy = ax 2 .
Задачи:
Обучающие: сформировать умение строить параболу y = ax 2 и установить закономерность между графиком функции y = ax 2
и коэффициентом а.
Развивающие: развитие познавательных умений, аналитического и сравнительного мышления, математической грамотности, способности обобщать и делать выводы.
Воспитывающие: воспитание интереса к предмету, аккуратности, ответственности, требовательности к себе и другим.
Планируемые результаты:
Предметные: уметь по формуле определять направление ветвей параболы и строить её с помощью таблицы.
Личностные: уметь отстаивать свою точку зрения и работать в парах, в коллективе.
Метапредметные: уметь планировать и оценивать процесс и результат своей деятельности, обрабатывать информацию.
Педагогические технологии: элементы проблемного и опережающего обучения.
Оборудование: интерактивная доска, компьютер, раздаточные материалы.
1.Формула корней квадратного уравнения и разложение квадратного трёхчлена на множители.
2.Сокращение алгебраических дробей.
3.Свойства и график функции y = ax 2 , зависимость направления ветвей параболы, её «растяжения» и «сжатия» вдоль оси ординат от коэффициента a .
Структура урока.
1.Организационная часть.
2.Актуализация знаний:
Проверка домашнего задания
Устная работа по готовым чертежам
3.Самостоятельная работа
4.Объяснение нового материала
Подготовка к изучению нового материала (создание проблемной ситуации)
Первичное усвоение новых знаний
5.Закрепление
Применение знаний и умений в новой ситуации.
6.Подведение итогов урока.
7.Домашнее задание.
8.Рефлексия урока.
Технологическая карта урока алгебры в 9 классе по теме: «График функции
y
=
ax
2
»
| Этапы урока | Задачи этапа | Деятельность учителя | Деятельность учащихся | УУД |
| 1.Организационная часть 1 минута | Создание рабочего настроения в начале урока | Здоровается с учениками, проверяет их подготовку к уроку, отмечает отсутствующих, записывает на доске дату. | Готовятся к работе на уроке, приветствуют учителя | Регулятивные: организация учебной деятельности. |
| 2.Актуализация знаний 4 минуты | Проверить выполнение домашнего задания, повторить и обобщить изученный на прошлых уроках материал и создать условия для успешного выполнения самостоятельной работы. | Собирает тетради у шести учеников (выборочно по два с каждого ряда) для проверки домашнего задания на оценку (приложение 1), затем работает с классом на интерактивной доске (приложение 2) . | Шесть учащихся сдают на проверку тетради с домашним заданием, затем отвечают на вопросы фронтального опроса (приложение 2) . | Познавательные: приведение знаний в систему. Коммуникативные: умение прислушиваться к мнению окружающих. Регулятивные: оценивание результатов своей деятельности. Личностные: оценивание уровня усвоения материала. |
| 3.Самостоятельная работа 10 минут | Проверить умение раскладывать на множители квадратный трёхчлен, сокращать алгебраические дроби и описывать некоторые свойства функций по её графику. | Раздаёт учащимся карточки с индивидуальным дифференцированным заданием (приложение 3) . и листочки для решения. | Выполняют самостоятельную работу, самостоятельно выбирая уровень сложности упражнений по баллам. | Познавательные: Личностные: оценивание уровня усвоения материала и своих возможностей. |
| 4.Объяснение нового материала Подготовка к изучению нового материала Первичное усвоение новых знаний | Создание благоприятной обстановки для выхода из проблемной ситуации, восприятия и осмысления нового материала, самостоятельного прихода к правильному выводу | Итак, вы умеете строить график функции y = x 2 (графики заранее построены на трёх досках). Назовите основные свойства этой функции: 3. Координаты вершины 5. Промежутки монотонности Чему в данном случае равен коэффициент при x 2 ? На примере квадратного трёхчлена вы видели, что это совершенно не обязательно. Каким он может быть по знаку? Приведите примеры. Как будут выглядеть параболы с другими коэффициентами, вам предстоит узнать самим. Лучший способ изучить что-либо–это открыть самому. Д.Пойа Делимся на три команды (по рядам), выбираем капитанов, которые выходят к доске. Задание для команд написано на трёх досках, соревнование начинается! В одной системе координат построить графики функций 1 команда: а)y=x 2 б)y= 2x 2 в)y= x 2 2 команда: а)y= - x 2 б)y=-2x 2 в)y= - x 2 3 команда: а)y=x 2 б)y=4x 2 в)y=-x 2 Задание выполнено! (приложение 4) . Найдите функции, обладающие одинаковыми свойствами. Капитаны советуются со своими командами. От чего это зависит? А чем же эти параболы всё-таки различаются и почему? От чего зависит «толщина» параболы? От чего зависит направление ветвей параболы? Будем условно называть график а) «исходным». Представьте себе резинку: если её растягивать, она становится тоньше. Значит, график б) получен растяжением исходного графика вдоль оси ординат. Как получен график в)? Значит, при x 2 может стоять любой коэффициент, который влияет на конфигурацию параболы. Вот и тема нашего урока звучит так: «График функции y = ax 2 » | 1. R 4. Ветви вверх 5. Убывает на (- Возрастает на }
|