Учёные |
---|
Галилей · Кеплер · Ньютон Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер Лагранж · Гамильтон · Коши |
Обычно понятие центробежной силы используется в рамках классической (Ньютоновской) механики , которой касается основная часть данной статьи (хотя обобщение этого понятия и может быть в некоторых случаях достаточно легко получено для релятивистской механики).
По определению, центробежной силой называется сила инерции (то есть в общем случае - часть полной силы инерции) в неинерциальной системе отсчета, не зависящая от скорости движения материальной точки в этой системе отсчета, а также не зависящая от ускорений (линейных или угловых) самой этой системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета.
Для материальной точки центробежная сила выражается формулой:
- центробежная сила приложенная к телу, - масса тела, - угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной (направление вектора угловой скорости определяется по правилу буравчика), - радиус-вектор тела во вращающейся системе координат.
Эквивалентное выражение для центробежной силы можно записать как
если использовать обозначение для вектора, перпендикулярного оси вращения и проведенного от неё к данной материальной точке.
Центробежная сила для тел конечных размеров может быть рассчитана (как это обычно делается и для любых других сил) суммированием центробежных сил, действующих на материальные точки, являющиеся элементами, на которые мы мысленно разбиваем конечное тело.
В литературе встречается и совсем другое понимание термина «центробежная сила». Так иногда называют реальную силу, приложенную не к совершающему вращательное движение телу, а действующую со стороны тела на ограничивающие его движение связи. В рассмотренном выше примере так называли бы силу, действующую со стороны шарика на пружину. (См., например, ниже ссылку на БСЭ.)
Применяемый не к связям, а, наоборот, к поворачиваемому телу, как объекту своего воздействия, термин «центробежная сила» (букв. сила, приложенная к поворачивающемуся или вращающемуся материальному телу, заставляющая его бежать от мгновенного центра поворота), есть эвфемизм, основанный на ложном толковании первого закона (принципа Ньютона) в форме:
Всякое тело сопротивляется изменению своего состояния покоя или равномерного прямолинейного движения под действием внешней силы
Всякое тело стремится сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока не подействует внешняя сила.
Отголоском этой традиции и является представление о некоей силе , как о материальном факторе, реализующем это сопротивление или стремление. О существовании такой силы уместно было бы говорить, если бы, например, вопреки действующим силам, движущееся тело сохраняло бы свою скорость, но это не так .
Использование термина «центробежная сила» правомочно тогда, когда точкой её приложения является не испытывающее поворот тело, а ограничивающее его движение связи. В этом смысле центробежная сила представляет собой один из членов в формулировке третьего закона Ньютона, антагониста центростремительной силе, вызывающей поворот рассматриваемого тела и к нему приложенной. Обе эти силы равны по величине и противоположны по направлению, но приложены к разным телам и потому не компенсируют друг друга, а вызывают реально ощутимый эффект - изменение направление движения тела (материальной точки).
Оставаясь в инерциальной системе отсчёта , рассмотрим два небесных тела, например, компонента двойной звезды с массами одного порядка величины и , находящихся на расстоянии друг от друга. В принятой модели эти звёзды рассматриваются как материальные точки и есть расстояние между их центрами масс. В роли связи между этими телами выступает сила Всемирного тяготения , где - гравитационная постоянная. Это - единственная здесь действующая сила, она вызывает ускоренное движение тел навстречу друг другу.
Однако, в том случае, если каждое из этих тел совершает вращение вокруг общего центра масс с линейными скоростями = и = , то подобная динамическая система будет неограниченное время сохранять свою конфигурацию, если угловые скорости вращения этих тел будут равны: = = , а расстояния от центра вращения (центра масс) будут соотноситься, как: = , причём , что непосредственно следует из равенства действующих сил: и , где ускорения равняются соответственно: = и .
Центростремительные силы, вызывающие движение тел по круговым траекториям равны (по модулю): = . При этом первая из них является центростремительной, а вторая - центробежной и наоборот: каждая из сил в соответствии с Третьим законом является и той, и другой.
Поэтому, строго говоря, использование каждого из обсуждаемых терминов излишне, поскольку они не обозначают никаких новых сил, являясь синонимами единственной силы - силы тяготения. То же самое справедливо и в отношении действия любой из упомянутых выше связей.
Однако, по мере изменения соотношения между рассматриваемыми массами, то есть всё более значительного расхождения в движении обладающих этими массами тел, разница в результатах действия каждой из рассматриваемых тел для наблюдателя становится всё более значительной.
В ряде случаев наблюдатель отождествляет себя с одним из принимающих участие тел, и потому оно становится для него неподвижным. В этом случае при столь большом нарушении симметрии в отношении к наблюдаемой картине, одна из этих сил оказывается неинтересной, поскольку практически не вызывает движения.
Граф Илья Андреич вышел из предводителей, потому что эта должность была сопряжена с слишком большими расходами. Но дела его всё не поправлялись. Часто Наташа и Николай видели тайные, беспокойные переговоры родителей и слышали толки о продаже богатого, родового Ростовского дома и подмосковной. Без предводительства не нужно было иметь такого большого приема, и отрадненская жизнь велась тише, чем в прежние годы; но огромный дом и флигеля всё таки были полны народом, за стол всё так же садилось больше человек. Всё это были свои, обжившиеся в доме люди, почти члены семейства или такие, которые, казалось, необходимо должны были жить в доме графа. Таковы были Диммлер – музыкант с женой, Иогель – танцовальный учитель с семейством, старушка барышня Белова, жившая в доме, и еще многие другие: учителя Пети, бывшая гувернантка барышень и просто люди, которым лучше или выгоднее было жить у графа, чем дома. Не было такого большого приезда как прежде, но ход жизни велся тот же, без которого не могли граф с графиней представить себе жизни. Та же была, еще увеличенная Николаем, охота, те же 50 лошадей и 15 кучеров на конюшне, те же дорогие подарки в именины, и торжественные на весь уезд обеды; те же графские висты и бостоны, за которыми он, распуская всем на вид карты, давал себя каждый день на сотни обыгрывать соседям, смотревшим на право составлять партию графа Ильи Андреича, как на самую выгодную аренду.
Граф, как в огромных тенетах, ходил в своих делах, стараясь не верить тому, что он запутался и с каждым шагом всё более и более запутываясь и чувствуя себя не в силах ни разорвать сети, опутавшие его, ни осторожно, терпеливо приняться распутывать их. Графиня любящим сердцем чувствовала, что дети ее разоряются, что граф не виноват, что он не может быть не таким, каким он есть, что он сам страдает (хотя и скрывает это) от сознания своего и детского разорения, и искала средств помочь делу. С ее женской точки зрения представлялось только одно средство – женитьба Николая на богатой невесте. Она чувствовала, что это была последняя надежда, и что если Николай откажется от партии, которую она нашла ему, надо будет навсегда проститься с возможностью поправить дела. Партия эта была Жюли Карагина, дочь прекрасных, добродетельных матери и отца, с детства известная Ростовым, и теперь богатая невеста по случаю смерти последнего из ее братьев.
Графиня писала прямо к Карагиной в Москву, предлагая ей брак ее дочери с своим сыном и получила от нее благоприятный ответ. Карагина отвечала, что она с своей стороны согласна, что всё будет зависеть от склонности ее дочери. Карагина приглашала Николая приехать в Москву.
Несколько раз, со слезами на глазах, графиня говорила сыну, что теперь, когда обе дочери ее пристроены – ее единственное желание состоит в том, чтобы видеть его женатым. Она говорила, что легла бы в гроб спокойной, ежели бы это было. Потом говорила, что у нее есть прекрасная девушка на примете и выпытывала его мнение о женитьбе.
В других разговорах она хвалила Жюли и советовала Николаю съездить в Москву на праздники повеселиться. Николай догадывался к чему клонились разговоры его матери, и в один из таких разговоров вызвал ее на полную откровенность. Она высказала ему, что вся надежда поправления дел основана теперь на его женитьбе на Карагиной.
– Что ж, если бы я любил девушку без состояния, неужели вы потребовали бы, maman, чтобы я пожертвовал чувством и честью для состояния? – спросил он у матери, не понимая жестокости своего вопроса и желая только выказать свое благородство.
– Нет, ты меня не понял, – сказала мать, не зная, как оправдаться. – Ты меня не понял, Николинька. Я желаю твоего счастья, – прибавила она и почувствовала, что она говорит неправду, что она запуталась. – Она заплакала.
– Маменька, не плачьте, а только скажите мне, что вы этого хотите, и вы знаете, что я всю жизнь свою, всё отдам для того, чтобы вы были спокойны, – сказал Николай. Я всем пожертвую для вас, даже своим чувством.
Но графиня не так хотела поставить вопрос: она не хотела жертвы от своего сына, она сама бы хотела жертвовать ему.
– Нет, ты меня не понял, не будем говорить, – сказала она, утирая слезы.
«Да, может быть, я и люблю бедную девушку, говорил сам себе Николай, что ж, мне пожертвовать чувством и честью для состояния? Удивляюсь, как маменька могла мне сказать это. Оттого что Соня бедна, то я и не могу любить ее, думал он, – не могу отвечать на ее верную, преданную любовь. А уж наверное с ней я буду счастливее, чем с какой нибудь куклой Жюли. Пожертвовать своим чувством я всегда могу для блага своих родных, говорил он сам себе, но приказывать своему чувству я не могу. Ежели я люблю Соню, то чувство мое сильнее и выше всего для меня».
Николай не поехал в Москву, графиня не возобновляла с ним разговора о женитьбе и с грустью, а иногда и озлоблением видела признаки всё большего и большего сближения между своим сыном и бесприданной Соней. Она упрекала себя за то, но не могла не ворчать, не придираться к Соне, часто без причины останавливая ее, называя ее «вы», и «моя милая». Более всего добрая графиня за то и сердилась на Соню, что эта бедная, черноглазая племянница была так кротка, так добра, так преданно благодарна своим благодетелям, и так верно, неизменно, с самоотвержением влюблена в Николая, что нельзя было ни в чем упрекнуть ее.
Николай доживал у родных свой срок отпуска. От жениха князя Андрея получено было 4 е письмо, из Рима, в котором он писал, что он уже давно бы был на пути в Россию, ежели бы неожиданно в теплом климате не открылась его рана, что заставляет его отложить свой отъезд до начала будущего года. Наташа была так же влюблена в своего жениха, так же успокоена этой любовью и так же восприимчива ко всем радостям жизни; но в конце четвертого месяца разлуки с ним, на нее начинали находить минуты грусти, против которой она не могла бороться. Ей жалко было самое себя, жалко было, что она так даром, ни для кого, пропадала всё это время, в продолжение которого она чувствовала себя столь способной любить и быть любимой.
В доме Ростовых было невесело.
Пришли святки, и кроме парадной обедни, кроме торжественных и скучных поздравлений соседей и дворовых, кроме на всех надетых новых платьев, не было ничего особенного, ознаменовывающего святки, а в безветренном 20 ти градусном морозе, в ярком ослепляющем солнце днем и в звездном зимнем свете ночью, чувствовалась потребность какого нибудь ознаменования этого времени.
Обычно понятие центробежной силы используется в рамках классической (Ньютоновской) механики , которой касается основная часть данной статьи (хотя обобщение этого понятия и может быть в некоторых случаях достаточно легко получено для релятивистской механики).
По определению, центробежной силой называется сила инерции (то есть в общем случае - часть полной силы инерции) в неинерциальной системе отсчета, не зависящая от скорости движения материальной точки в этой системе отсчета, а также не зависящая от ускорений (линейных или угловых) самой этой системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета.
Для материальной точки центробежная сила выражается формулой:
- центробежная сила приложенная к телу, - масса тела, - угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной (направление вектора угловой скорости определяется по правилу буравчика), - радиус-вектор тела во вращающейся системе координат.Эквивалентное выражение для центробежной силы можно записать как
если использовать обозначение для вектора, перпендикулярного оси вращения и проведенного от неё к данной материальной точке.
Центробежная сила для тел конечных размеров может быть рассчитана (как это обычно делается и для любых других сил) суммированием центробежных сил, действующих на материальные точки, являющиеся элементами, на которые мы мысленно разбиваем конечное тело.
Следует иметь в виду, что для правильного описания движения тел во вращающихся системах отсчёта, кроме центробежной силы следует также вводить силу Кориолиса .
В литературе встречается и совсем другое понимание термина «центробежная сила». Так иногда называют реальную силу, приложенную не к совершающему вращательное движение телу, а действующую со стороны тела на ограничивающие его движение связи. В рассмотренном выше примере так называли бы силу, действующую со стороны шарика на пружину. (См., например, ниже ссылку на БСЭ.)
Центростремительная и центробежная силы при движении тел по круговым траекториям с общей осью вращения
Применяемый не к связям, а, наоборот, к поворачиваемому телу, как объекту своего воздействия, термин «центробежная сила» (букв. cила, приложенная к поворачивающемуся или вращающемуся материальному телу, заставляющего его бежать от мгновенного центра поворота), есть эвфемизм, основанный на ложном толковании первого закона (принципа Ньютона) в форме:
Всякое тело сопротивляется изменению своего состояния покоя или равномерного прямолинейного движения под действием внешней силы
Всякое тело стремится сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока не подействует внешняя сила.
Отголоском этой традиции и является представление о некоей силе , как о материальном факторе, реализующем это сопротивление или стремление. О существовании такой силы уместно было бы говорить, если бы, например, вопреки действующим силам, движущееся тело сохраняло бы свою скорость, но это не так .
Использование термина «центробежная сила» правомочно тогда, когда точкой её приложения является не испытывающее поворот тело, а ограничивающее его движение связи. В этом смысле центробежная сила представляет собой один из членов в формулировке третьего закона Ньютона, антагониста центростремительной силе, вызывающей поворот рассматриваемого тела и к нему приложенной. Обе эти силы равны по величине и противоположны по направлению, но приложены к разным телам и потому не компенсируют друг друга, а вызывают реально ощутимый эффект - изменение направление движения тела (материальной точки).
Оставаясь в инерциальной системе отсчёта , рассмотрим два небесных тела, например, компонента двойной звезды с массами одного порядка величины и , находящихся на расстоянии друг от друга. В принятой модели эти звёзды рассматриваются как материальные точки и есть расстояние между их центрами масс. В роли связи между этими телами выступает сила Всемирного тяготения , где - гравитационная постоянная. Это - единственная здесь действующая сила, она вызывает ускоренное движение тел навстречу друг другу.
Однако, в том случае, если каждое из этих тел совершает вращение вокруг общего центра масс с линейными скоростями = и = , то подобная динамическая система будет неограниченное время сохранять свою конфигурацию, если угловые скорости вращения этих тел будут равны: = = , а расстояния от центра вращения (центра масс) будут соотноситься, как: = , причём , что непосредственно следует из равенства действующих сил: и , где ускорения равняются соответственно: = и .
Центростремительные силы, вызывающие движение тел по круговым траекториям равны (по модулю): =. При этом первая из них является центростремительной, а вторая - центробежной и наоборот: каждая из сил в соответствии с Третьим законом является и той, и другой.
Поэтому, строго говоря, использование каждого из обсуждаемых терминов излишне, поскольку они не обозначают никаких новых сил, являясь синонимами единственной силы - силы тяготения. То же самое справедливо и в отношении действия любой из упомянутых выше связей.
Однако, по мере изменения соотношения между рассматриваемыми массами, то есть всё более значительного расхождения в движении обладающих этими массами тел, разница в результатах действия каждой из рассматриваемых тел для наблюдателя становится всё более значительной.
В ряде случаев наблюдатель отождествляет себя с одним из принимающих участие тел, и потому оно становится для него неподвижным. В этом случае при столь большом нарушении симметрии в отношении к наблюдаемой картине, одна из этих сил оказывается неинтересной, поскольку практически не вызывает движения.
В буквальном смысле эти силы выглядят как определённым способом ориентированные по отношению к центру - некой точке, равноудалённой от всех точек траектории движущегося тела. В двумерном пространстве (на плоскости) такой траекторией является окружность , а в трехмерном - тоже окружность, образованная пересечением сферической поверхности плоскостью, в общем случае не проходящей через её центр.
Все остальные траектории любого вида центром в этом смысле не обладают, и потому применительно к движущемуся по не круговым траекториям телу использование представления о центростремительной и центробежной силах не оправдано и ведёт к многочисленным недомолвкам и недоразумениям
.
Центростремительная и центробежная силы
Всякое тело сопротивляется изменению своего состояния покоя или равномерного прямолинейного движения под действием внешней силы
Всякое тело стремится сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока не подействует внешняя сила.
Отголоском этой традиции и является представление о некоей силе , как о материальном факторе, реализующем это сопротивление или стремление. О существовании такой силы уместно было бы говорить, если бы, например, вопреки действующим силам, движущееся тело сохраняло бы свою скорость, но это не так.
Использование термина Центробежная сила правомочно тогда, когда точкой её приложения является не испытывающее поворот тело, а ограничивающее его движение связи. В этом смысле Центробежная сила представляет собой один из членов в формулировке Третьего закона Ньютона, антагониста Центростремительной силе, вызывающей поворот рассматриваемого тела и к нему приложенной. Обе эти силы равны по величине и противоположны по направлению, но приложены к разным телам и потому не компенсируют друг друга, а вызывают реально ощутимый эффект - изменение направление движения тела (материальной точки).
Оставаясь в инерциальной системе отсчёта , рассмотрим два небесных тела, например, компонента двойной звезды с массами одного порядка величины M 1 и M 2 , находящихся на расстоянии R друг от друга. В принятой модели эти звёзды рассматриваются как материальные точки и R есть расстояние между их центрами масс. В роли связи между этими телами выступает сила Всемирного тяготения F G :G M 1 M 2 / R 2 , где G - гравитационная постоянная. Это - единственная здесь действующая сила, она вызывает ускоренное движение тел навстречу друг другу.
Однако, в том случае, если каждое из этих тел совершает вращение вокруг общего центра масс с линейными скоростями v 1 = ω 1 R 1 и v 2 = ω 2 R 2 , то подобная динамическая система будет неограниченное время сохранять свою конфигурацию, если угловые скорости вращения этих тел будут равны: ω 1 = ω 2 = ω , а расстояния от центра вращения (центра масс) будут соотноситься, как: M 1 / M 2 = R 2 / R 1 , причём R 2 + R 1 = R , что непоcредственно следует из равенства действующих сил: F 1 = M 1 a 1 и F 2 = M 2 a 2 , где ускорения равняются соответственно: a 1 = ω 2 R 1 и a 2 = ω 2 R 2
Центростремительные силы, вызывающие движение тел по круговым траекториям равны (по модулю): F 1 =F 2 = F G . При этом первая из них является центростремительной, а вторая - центробежной и наоборот: каждая из сил в соответствие с Третьим законом является и той, и другой.
Поэтому, строго говоря, использование каждого из обсуждаемых терминов излишне, поскольку они не обозначают никаких новых сил, являясь синонимами единственной силы - силы Всемирного тяготения. То же самое справедливо и отношении действия любой из упомянутых выше связей.
Однако, по мере изменения соотношения между рассматриваемыми массами, то есть всё более значительного расхождения в движении обладающих этими массами тел, разница в результатах действия каждой из рассматриваемых тел для наблюдателя становится всё более значительной.
В ряде случаев наблюдатель отождествляет себя с одним из принимающих участие тел и потому оно становится для него неподвижным. В этом случае при столь большом нарушении симметрии в отношении к наблюдаемой картине, одна из этих сил оказывается неинтересной, поскольку практически не вызывает движения.
Переписывая Второй закон в виде F − m a = 0 и заменяя второй член слева на некую силу F i = − m a , получаем новую запись Второго закона: F + F i = 0 .Здесь обе силы действуют на одно и то же тело, причём их сумма равна нулю, из чего следует, что данное тело в системе отсчёта, связанной с этим телом, покоится, хотя сама система вместе с ним движется ускоренно. Эта сила F i , ничем не отличается по своему происхождению от силы F (о чём говорит знак равенства в канонической записи закона). Существует предложение называть её Ньютоновской силой инерции . Никакого отношения к центробежной силе эта сила не имеет.