Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из проволоки, витки которой намотаны вплотную в одном направлении, а длина катушки значительно больше радиуса витка.

Магнитное поле соленоида можно представить как результат сложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, имеющими общую ось. На рисунке 3 видно, что внутри соленоида линии магнитной индукции каждого отдельного витка имеют одинаковое направление, тогда как между соседними витками они имеют противоположное направление.

Поэтому при достаточно плотной намотке соленоида противоположно направленные участки линий магнитной индукции соседних витков взаимно уничтожаются, а одинаково направленные участки сольются в общую линию магнитной индукции, проходящую внутри соленоида и охватывающую его снаружи. Изучение этого поля с помощью опилок показало, что внутри соленоида поле является однородным, магнитные линии представляют собой прямые линии, параллельные оси соленоида, которые расходятся на его концах и замыкаются вне соленоида (рис. 4).

Нетрудно заметить сходство между магнитным полем соленоида (вне его) и магнитным полем постоянного стержневого магнита (рис. 5). Конец соленоида, из которого магнитные линии выходят, аналогичен северному полюсу магнита N , другой же конец соленоида, в который магнитные линии входят, аналогичен южному полюсу магнита S .

Полюсы соленоида с током на опыте легко определить с помощью магнитной стрелки. Зная же направление тока в витке, эти полюсы можно определить с помощью правила правого винта: вращаем головку правого винта по току в витке, тогда поступательное движение острия винта укажет направление магнитного поля соленоида, а следовательно, и его северного полюса. Модуль магнитной индукции внутри однослойного соленоида вычисляется по формуле

B = μμ 0 NI l = μμ 0 nl,

где Ν — число витков в соленоиде, I — длина соленоида, n — число витков, приходящееся на единицу длины соленоида.

Особый интерес представляет магнитное поле внутри соленоида, длина которого значительно превосходит его диаметр. Внутри такого соленоида магнитная индукция имеет повсюду одно и то же направление, параллельное оси соленоида, и значит, линии поля параллельны между собой.

Измеряя каким-нибудь способом магнитную индукцию в разных точках внутри соленоида, мы можем убедиться в том, что если витки соленоида расположены равномерно, то индукция магнитного поля внутри соленоида имеет во всех точках не только одинаковое направление, но и одинаковое числовое значение. Итак, поле внутри длинного равномерно навитого соленоида однородно. В дальнейшем, говоря о поле внутри соленоида, мы всегда будем иметь в виду подобные «длинные» равномерные соленоиды и не будем обращать внимания на отступления от однородности поля в областях, близких к концам соленоида.

Подобные измерения, выполненные с разными соленоидами при различной силе тока в них, показали, что магнитная индукция поля внутри длинного соленоида пропорциональна силе тока и числу витков, приходящихся на единицу длины соленоида, т. е. величине , где – полное число витков соленоида, – его длина. Таким образом,

где – коэффициент пропорциональности, называемый магнитной постоянной (ср. с электрической постоянной , § 11). Числовое значение магнитной постоянной

Впоследствии (§ 157) выяснится, что единица, в которой выражена величина , может быть названа «генри на метр», где генри (Гн) – единица индуктивности. Следовательно, можно написать, что

Гн/м. (126.2)

В силу своей простоты поле соленоида используется в качестве эталонного поля.

Для характеристики магнитного поля, кроме магнитной индукции , используют также векторную величину , называемую напряженностью магнитного поля. В случае поля в вакууме величины и просто пропорциональны друг другу:

так что введение величины не вносит ничего нового. Однако в случае поля в веществе связь с имеет вид

где – безразмерная характеристика вещества, называемая относительной магнитной проницаемостью или просто магнитной проницаемостью вещества. При рассмотрении магнитных полей в веществе, например в железе, величина оказывается полезной. Подробнее об этом идет речь в § 144.

Из формул (126.1) и (126.3) следует, что в случае, когда соленоид находится в вакууме, напряженность магнитного поля

т. е., как говорят, равна числу ампер-витков на метр.

С помощью измерений магнитной индукции поля, создаваемого током, текущим по очень длинному тонкому прямолинейному проводнику, было установлено, что

где – сила тока в проводнике, – расстояние от проводника.

Согласно формуле (126.3) напряженность поля, создаваемого прямолинейным проводником, находящимся в вакууме, равна

В соответствии с формулой (126.7) единица напряженности магнитного поля носит название ампер на метр (А/м). Один ампер на метр есть напряженность магнитного поля на расстоянии одного метра от тонкого прямолинейного бесконечно длинного проводника, по которому течет ток силой ампер.

126.1. Магнитная индукция поля внутри соленоида равна 0,03 Тл. Какой силы ток проходит в соленоиде, если длина его равна 30 см, а число витков равно 120?

126.2. Как изменится магнитная индукция поля внутри соленоида из предыдущей задачи, если соленоид растянуть до 40 см или сжать его до 10 см? Что произойдет, если сложить соленоид пополам так, чтобы витки одной его половины легли между витками второй половины?

126.3. По соленоиду длины 20 см, состоящему из 60 витков диаметра 15 см, идет ток. Что произойдет с магнитным полем внутри соленоида, если уменьшить диаметр его витков до 5 см, сохранив прежнюю длину соленоида и использовав тот же самый кусок провода? Каким способом можно получить прежнюю магнитную индукцию поля, сохранив неизменными длину и диаметр витков соленоида?

126.4. Внутри соленоида длины 8 см, состоящего из 40 витков, расположен другой соленоид с числом витков на 1 см длины соленоида, равным 10. Через оба соленоида проходит одинаковый ток 2 А. Какова магнитная индукция поля внутри обоих соленоидов, если северные концы их обращены: а) в одну сторону; б) в противоположные стороны?

126.5. Имеются три соленоида длины 30 см, 5 см и 24 см с числом витков 1500, 1000 и 600 соответственно. По первому соленоиду идет ток 1 А. Какие токи должны идти по второму и третьему соленоидам, чтобы магнитная индукция внутри всех трех соленоидов была одной и той же?

126.6. Вычислите магнитную индукцию поля в каждом из соленоидов задачи 126.5.

126.7. В соленоиде длины 10 см нужно получить магнитное поле с напряженностью, равной 5000 А/м. При этом ток в соленоиде должен быть равен 5 А. Из скольких витков должен состоять соленоид?

126.8. Какова магнитная индукция поля внутри соленоида, длина которого равна 20 см, а полное число витков равно 500, при токе 0,1 А? Как изменится магнитная индукция, если соленоид будет растянут до 50 см, а ток уменьшен до 10 мА?

Соленоидом называется проводник, свитый спиралью, по которому пропущен электрический ток (рисунок 1, а ).

Если мысленно разрезать витки соленоида поперек, обозначить направление тока в них, как было указано выше, и определить направление магнитных индукционных линий по "правилу буравчика", то магнитное поле всего соленоида будет иметь такой вид, как показано на рисунке 1, б .

Рисунок 1. Соленоид (а ) и его магнитное поле (б )

Рисунок 2. Компьютерная модель соленоида

На оси бесконечно длинного соленоида, на каждой единице длины которого намотано n 0 витков, напряженность магнитного поля внутри соленоида определяется формулой:

H = I × n 0 .

В том месте, где магнитные линии входят в соленоид, образуется южный полюс, где они выходят - северный полюс.

Для определения полюсов соленоида пользуются "правилом буравчика", применяя его следующим образом: если расположить буравчик вдоль оси соленоида и вращать его по направлению тока в витках катушки соленоида, то поступательное движение буравчика покажет направление магнитного поля (рисунок 3).

Видео про соленоид:

Электромагнит

Соленоид, внутри которого находится стальной (железный) сердечник, называется электромагнитом (рисунок 4 и 5). Магнитное поле у электромагнита сильнее, чем у соленоида, так как кусок стали, вложенный в соленоид, намагничивается и результирующее магнитное поле усиливается. Полюсы у электромагнита можно определить, так же как и у соленоида, по "правилу буравчика".

Рисунок 5. Катушка электромагнита

Электромагниты широко применяются в технике. Они служат для создания магнитного поля в электрических генераторах и двигателях, в электроизмерительных приборах, электрических аппаратах и тому подобном.

В установках большой мощности для отключения поврежденного участка цепи вместо плавких предохранителей применяются автоматические, масляные и воздушные выключатели. Для приведения в действие отключающих катушек автоматических выключателей применяются различные реле. Реле называются приборы или автоматы, реагирующие на изменение тока, напряжения, мощности, частоты и прочих параметров.

Из большого числа реле, различных по своему назначению, принципу действия и конструкции, кратко рассмотрим устройство электромагнитных реле. На рисунке 6 представлены конструкции этих реле. Работа реле основана на взаимодействии магнитного поля, создаваемого неподвижной катушкой, по которой проходит ток, и стального подвижного якоря электромагнита. При изменении условий работы в цепи главного тока катушка реле возбуждается, магнитный поток сердечника подтягивает (поворачивает или втягивает) якорь, который замыкает контакты цепи, отключающей катушки привода масляных и воздушных выключателей или вспомогательных реле.

Рисунок 6. Электромагнитное реле

Реле нашли себе применение также в автоматике и телемеханике.

Магнитный поток соленоида (электромагнита) увеличивается с увеличением числа витков и тока в нем. Намагничивающая сила зависит от произведения тока на число витков (числа ампер-витков).

Если, например, взять соленоид, по обмотке которого проходит ток 5 А и число витков которого равно 150, то число ампер-витков будет 5 × 150 = 750. Тот же магнитный поток получится если взять 1500 витков и пропустить по ним ток 0,5 А, так как 0,5 × 1500 = 750 ампер-витков.

Увеличить магнитный поток соленоида можно следующими путями: 1) вложить в соленоид стальной сердечник, превратив его в электромагнит; 2) увеличить сечение стального сердечника электромагнита (так как при данных токе, напряженности магнитного поля, и стало быть, магнитной индукции увеличение сечения ведет к росту магнитного потока); 3) уменьшить воздушный зазор сердечника электромагнита (так как при уменьшении пути магнитных линий по воздуху уменьшается магнитное сопротивление).

Видео про электромагнит:

Магнитное поле соленоида.

В уточнённой модели соленоида конечной длины учтём более реальный вид навивки тонкого провода на каркас соленоида. Основным токонесущим элементом конструкции будем считать винтовую линию. Рассмотрим соленоид с каркасом в форме цилиндрической поверхности, поперечное сечение которой является окружностью радиуса . Пусть продольная ось соленоида, как в предыдущем примере, совпадает с осью аппликат, координаты конечных сечений соленоида на оси аппликат имеют значения и , тонкий проводник намотан на каркас равномерно с шагом , то есть число витков на единицу длины соленоида составляет величину , по проводнику течёт ток .

Радиус-вектор точки наблюдения М по условию определен координатами:

Радиус-вектор расположения элемента контура с током опишем с помощью параметрического представления:

Легко видеть, что при возрастании величины параметра на величину радиус-вектор совершит полный оборот вокруг продольной оси соленоида и сместится на шаг навивки относительно исходного положения в пространстве. Будем считать, что электрический ток течет по проводнику в направлении, определяемом увеличением параметра . Проекции вектора на оси декартовой системы координат имеют вид:

(3)

В соответствии с дифференциальной формой закона Био-Савара-Лапласа (1) раздела 6.2 получаем проекции вектора магнитной индукции на оси декартовых координат для произвольной точки наблюдения:

(3)

, (4) . (5)

Как это ни удивительно, но уточнённая модель приводит к более простым зависимостям для проекций дифференциала вектора магнитной индукции: для расчёта величин проекций искомого вектора понадобится только однократное интегрирование по параметру . Пределы интегрирования определяются при этом условием, что тонкий проводник достиг крайнего сечения соленоида:

Выпишем квадратуры для проекций вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат для произвольной точки наблюдения:

, (7)

, (8)

. (9)

Численные значения проекций вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат легко вычисляются с помощью пакета символьных вычислений Maple, если заданы характеристики системы токов и координаты точки наблюдения. Ниже для определенности положим Проведем вычисления осевой составляющей индукции магнитного поля в сечении z=0 в зависимости от координаты x (радиальное направление!). Результаты расчета представлены на рис. 2. Здесь имеет смысл обратить внимание на небольшую неоднородность магнитного поля внутри соленоида (|x|<1) и наличие осевой составляющей магнитного поля вне соленоида (последнее характерно для соленоида конечных размеров).

В качестве второго примера вычислим распределение осевой составляющей магнитной индукции вдоль оси соленоида при сохранении параметров системы токов (рис. 3). Здесь можно отметить качественное совпадение результатов расчета с подобными результатами упрощенной модели соленоида (рис.2 предыдущего раздела).

На практике чаще всего параметр навивки - отношение шага навивки к радиусу поперечного сечения соленоида - не играет существенной роли, но в отдельных случаях подробный расчет может оказаться полезным.

6.2.6. Поверхностная модель земного магнетизма .

У.Гильберт 400 лет тому назад установил, что Земля является «большим магнитом»: поведение стрелки компаса на земной поверхности похоже на поведение намагниченной стрелки в окрестности экспериментального магнитного шара. Во времена У.Гильберта ещё не было ни теории электричества, ни теории магнитного поля. В современных условиях интересно попробовать смоделировать образование магнитного поля Земли, играющего такую важную роль как обеспечении радиационной безопасности жизни на Земле, так и в практической навигации.

Допустим, что по поверхности сферы радиуса течёт ток постоянной по величине погонной плотности в азимутальном направлении. Величина погонной плотности тока определяется выражением

Здесь - дифференциал сила тока, - элемент дуги на поверхности сферы, перпендикулярный направлению тока, - дифференциал угловой координаты сферической системы координат.

Элемент длины «контура», связанного с описанным дифференциалом силы тока определяется выражением

, (2)

координаты точки расположения элемента имеют вид

, (3)

а его проекции на координатные направления декартовой системы координат

Если координаты точки наблюдения М определены проекциями радиус-вектора {x,y,z}, то не представляет труда выписать последовательно выражения для разности радиус-векторов точки наблюдения и точки расположения элемента контура с током, для модуля этой разности, для векторного произведения и получить зависимости для дифференциалов проекций вектора магнитной индукции в точке наблюдения:

(5)

Для реализации практических вычислений в приведенные соотношения вместо «штрихованных» величин необходимо подставить их выражения с использованием координат сферической системы координат (4).

В соответствии с принципом суперпозиции необходимо просуммировать вклад всех элементов «контуров» с током в величину каждой из проекций вектора магнитной индукции в точке наблюдения. Если декартовы координаты точки наблюдения записать с помощью сферических координат, то проекции вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат в точке наблюдения описываются следующими квадратурами:

Здесь , и - угловые координаты точки наблюдения в сферической системе координат.

Располагая полученными соотношениями, можно вычислить направляющие косинусы вектора магнитной индукции относительно исходной декартовой системы координат

, (7)

и записать уравнения для расчёта координат силовой линии в дифференциальной форме:

( для фиксированной точки силовой линии).

Интересно проанализировать зависимости «горизонтальной» и «вертикальной» составляющих вектора магнитной индукции над поверхностью несущей ток сферы от «северной широты» точки наблюдения. Численные результаты при этом таковы. На экваторе () горизонтальная составляющая поля направлена по меридиану в сторону «южного полюса», вертикальная составляющая равна нулю. На широте 45 0 () имеют место и горизонтальная, и вертикальная составляющие магнитного поля, причем абсолютная величина горизонтальной составляющей меньше, чем аналогичная величина на экваторе, а направленность в сторону южного полюса сохранилась. На «северном полюсе» () горизонтальная составляющая магнитного поля обращается в нуль, а вертикальная достигает максимального значения. Полученный результат объясняет причину трудностей определения местоположения в окрестности «северного полюса» сферы: компас теряет способность указывать направление на полюс.

6.2.7. Объёмная модель земного магнетизма .

Рассмотрим более сложную модель распределения электрического тока в земном шаре. Теперь нам предстоит рассчитать магнитное поле, образованное электрическим током, текущим в объёме сферы в азимутальном направлении с известной объёмной плотностью тока.

Допустим, что по объёму сферического тела радиуса течёт ток с постоянной по величине объёмно плотностью в азимутальном направлении. Элемент сила тока с учётом его направления в пространстве при этом можно описать с помощью выражения

В этом выражении - элемент объёма, в котором течёт ток, - координаты этого элемента объёма в сферической системе координат. Допустим, что координаты точки наблюдения имеют вид: { }. В соответствующей декартовой системе координат имеем

Для создания магнитного поля в технике используется соленоид – цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков, равномерно намотанных на общий сердечник (рис. 4.5).

Рассмотрим соленоид длиной L , имеющий N витков, по которому течет ток I . Длину соленоида считаем во много раз большей диаметров его витков. Магнитное поле такого соленоида целиком сосредоточено внутри него и однородно. Снаружи соленоида поле мало и его практически можно считать равным нулю.

Величину индукции магнитного поля соленоида можно найти, складывая магнитные индукции полей, создаваемых каждым витком соленоида. Так как витки соленоида намотаны вплотную друг к другу, на длине dx сосредоточено витков. Суммарный ток, протекающий по кольцу, толщиной dx , равен . В точке, находящейся на оси соленоида каждое такое кольцо создает магнитное поле, согласно (4.7), равное:

.

Суммарное поле:

(4.9)

При интегрировании соленоид считаем бесконечным. Как видно из (4.9) магнитное поле соленоида зависит от плотности намотки – числа витков на единицу длины соленоида .

Магнитный поток

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная:

dФ = В n dS = Bcos α × dS , (4.10)

где В n – проекция вектора В на направление, перпендикулярное к площадке dS ; α – угол между вектором нормали n и вектором В .

Положительное направление нормали связано правилом правого винта с током, текущим по контуру, ограничивающему площадку dS . Магнитный поток Ф через произвольную поверхность S можно представить в виде:

Действие магнитного поля на заряды

На электрический заряд q , движущийся в магнитном поле с индукцией В со скоростью V , действует сила Лоренца:

. (4.12)

Абсолютная величина магнитной силы:

F = qvB Sin α ,

где α – угол между векторами V и В .

По правилу векторного произведения магнитная сила F перпендикулярна плоскости, в которой лежат вектора V и B .

Если q >0, магнитная сила F совпадает с направлением векторного произведения [V,B ], если q <0, то противоположно.

Для положительного заряда, движущегося в магнитном поле, как показано на рисунке 4.6, сила F направлена вдоль отрицательного направления оси Z . Продольная компонента скорости V ll под действием магнитного поля изменяться не будет и движение заряженной частицы вдоль оси Х – равномерное. Результирующее движение частицы – по винтовой линии (рис.4.6). Спираль может быть как правой, так и левой в зависимости от знака заряда q .

Радиус спирали R найдем из условия, что при равномерном движении частицы по окружности сила F является центростремительной силой:

,

где m – масса заряженной частицы. Отсюда:

.

Время, за которое частица совершит полный оборот (период):

. (4.13)

Из формулы (4.13) следует, что период обращения частицы не зависит от ее скорости. Однако надо помнить, что этот вывод справедлив только при условии V <<c , где: с – скорость света.

Если движение частицы происходит как в магнитном поле с индукцией B , так и в электрическом поле с напряженностью Е , то на нее действует обобщенная сила Лоренца:

. (4.14)

Электромагнитная индукция

Если поток магнитной индукции сквозь контур изменяется со временем, то, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, в контуре возникает ЭДС индукции:

E = – , (4.15)

Знак (–) означает: индукционный ток всегда имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле стремиться скомпенсировать то изменение магнитного потока, которым вызван данный индукционный ток (правило Ленца).

Ток в замкнутом контуре создает в окружающем пространстве магнитное поле, индукция которого пропорциональна току: В ~ I. Поэтому сцепленный с контуром магнитный поток пропорционален силе тока в контуре I:

Ф = LI ,

гдеL – коэффициент пропорциональности называют коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура.

Если по контуру протекает изменяющийся со временем ток I(t) , то изменяется магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре возникает ЭДС самоиндукции:

Индуктивность контура L в общем случае зависит от геометрии контура и магнитной проницаемости среды µ. Если эти величины не изменяются, то L = const . Т.е., если контур жесткий и поблизости нет ферромагнетиков, то L = const .

Рассмотрим два контура 1 и 2, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (рис. 4.7). Если по контуру 1 пропустить ток I 1 , то он создает поток магнитной индукции через контур 2:

Ф 21 = L 21 I 1 . (4.17)

Коэффициент пропорциональности L 21 называют коэффициентом взаимной индукции контуров (взаимная индуктивность контуров). Он зависит от формы и взаимного расположения контуров 1 и 2, а также от магнитных свойств окружающей среды.

При изменении силы тока в первом контуре магнитный поток сквозь второй контур изменяется; следовательно, в нем наводится ЭДС взаимной индукции:

. (4.18)

Формула справедлива в отсутствие ферромагнетиков.

Если поменять местами контуры 1 и 2 и повторить все предыдущие рассуждения, то получим:

. (4.19)

Коэффициенты взаимной индукции равны.