Что разность фаз колебаний. Изучаем колебания – фаза колебаний
Но т.к. витки сдвинуты в пространстве, то наводимая в них ЭДС будет достигать амплитудных и нулевых значений не одновременно.
В начальный момент времени ЭДС витка будет:
В этих выражениях углы и называются фазными , или фазой . Углы и называются начальной фазой . Фазный угол определяет значение ЭДС в любой момент времени, а начальная фаза определяет значение ЭДС в начальный момент времени.
Разность начальных фаз двух синусоидальных величин одинаковой частоты и амплитуды называется углом сдвига фаз
Разделив угол сдвига фаз на угловую частоту, получим время, прошедшее с начала периода:
Графическое изображение синусоидальных величин
U = (U 2 a + (U L - U c) 2)
Таким образом, из-за наличия угла сдвига фаз напряжение U всегда меньше алгебраической суммы U a + U L + U C . Разность U L - U C = U p называется реактивной составляющей напряжения .
Рассмотрим, как изменяются ток и напряжение в последовательной цепи переменного тока.
Полное сопротивление и угол сдвига фаз. Если подставить в формулу (71) значения U a = IR; U L = lL и U C =I/(C), то будем иметь: U = ((IR) 2 + 2), откуда получаем формулу закона Ома для последовательной цепи переменного тока:
I = U / ((R 2 + 2)) = U / Z (72)
где Z = (R 2 + 2) = (R 2 + (X L - X c) 2)
Величину Z называют полным сопротивлением цепи , оно измеряется в омах. Разность L — l/(C) называют реактивным сопротивлением цепи и обозначают буквой X. Следовательно, полное сопротивление цепи
Z = (R 2 + X 2)
Соотношение между активным, реактивным и полным сопротивлениями цепи переменного тока можно также получить по теореме Пифагора из треугольника сопротивлений (рис. 193). Треугольник сопротивлений А’В’С’ можно получить из треугольника напряжений ABC (см. рис. 192,б), если разделить все его стороны на ток I.
Угол сдвига фаз определяется соотношением между отдельными сопротивлениями, включенными в данную цепь. Из треугольника А’В’С (см. рис. 193) имеем:
sin ? = X / Z; cos? = R / Z; tg? = X / R
Например, если активное сопротивление R значительно больше реактивного сопротивления X, угол сравнительно небольшой. Если в цепи имеется большое индуктивное или большое емкостное сопротивление, то угол сдвига фаз возрастает и приближается к 90°. При этом, если индуктивное сопротивление больше емкостного, напряжение и опережает ток i на угол; если же емкостное сопротивление больше индуктивного, то напряжение и отстает от тока i на угол.
Идеальная катушка индуктивности, реальная катушка и конденсатор в цепи переменного тока.
Реальная катушка в отличии от идеальной имеет не только индуктивность, но и активное сопротивление, поэтому при протекании переменного тока в ней сопровождается не только изменением энергии в магнитном поле, но и преобразованием электрической энергии в другой вид. В частности, в проводе катушки электрическая энергия преобразуется в тепло в соответствии с законом Ленца — Джоуля .
Ранее было выяснено, что в цепи переменного тока процесс преобразования электрической энергии в другой вид характеризуется активной мощностью цепи Р , а изменение энергии в магнитном поле — реактивной мощностью Q .
В реальной катушке имеют место оба процесса, т. е. ее активная и реактивная мощности отличны от нуля. Поэтому одна реальная катушка в схеме замещения должна быть представлена активным и реактивным элементами.
>> Фаза колебаний
§ 23 ФАЗА КОЛЕБАНИЙ
Введем еще одну величину, характеризующую гармонические колебания , - фазу колебаний.
При заданной амплитуде колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или синуса :
Величину , стоящую под знаком функции косинуса или синуса, называют фазой колебаний, описываемой этой функцией. Выражается фаза в угловых единицах радианах.
Фаза определяет не только значение координаты, но и значение других физических величин, например скорости и ускорения, изменяющихся также по гармоническому закону. Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени. В этом состоит значение понятия фазы.
Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут различаться фазами.
Отношение указывает, сколько периодов прошло от момента начала колебаний. Любому значению времени t, выраженному в числе периодов Т, соответствует значение фазы , выраженное в радианах. Так, по прошествии времени t = (четверти периода) , по прошествии половины периода = , по прошествии целого периода = 2 и т. д.
Можно изобразить на графике зависимость координаты колеблющейся точки не от времени, а от фазы. На рисунке 3.7 показана та же косинусоида, что и на рисунке 3.6, но на горизонтальной оси отложены вместо времени различные значения фазы .
Представление гармонических колебаний с помощью косинуса и синуса. Вы уже знаете, что при гармонических колебаниях координата тела изменяется со временем по закону косинуса или синуса. После введения понятия фазы остановимся на этом подробнее.
Синус отличается от косинуса сдвигом аргумента на , что соответствует, как видно из уравнения (3.21), промежутку времени, равному четверти периода:
Но при этом начальная фаза, т. е. значение фазы в момент времени t = 0, равна не нулю, а .
Обычно колебания тела, прикрепленного к пружине, или колебания маятника мы возбуждаем, выводя тело маятника из положения равновесия и затем отпуская его. Смещение от гихпожения равновесия максимально в начальной момент. Поэтому для описания колебаний удобнее пользоваться формулой (3.14) с применением косинуса, чем формулой (3.23) с применением синуса.
Но если бы мы возбудили колебания покоящегося тела кратковременным толчком, то координата тела в начальный момент была бы равна нулю, и изменения координаты со временем было бы удобнее описывать с помощью синуса, т. е. формулой
x = x m sin t (3.24)
так как при этом начальная фаза равна нулю.
Если в начальный момент времени (при t = 0) фаза колебаний равна , то уравнение колебаний можно записать в виде
x = x m sin(t + )
Сдвиг фаз. Колебания, описываемые формулами (3.23) и (3.24), отличаются друг от друга только фазами. Разность фаз, или, как часто говорят, сдвиг фаз, этих колебаний составляет . На рисунке 3.8 показаны графики зависимости координат от времени колебаний, сдвинутых по фазе на . График 1 соответствует колебаниям, совершающимся по синусоидальному закону: x = x m sin t а график 2 - колебаниям, совершающимся по закону косинуса:
Для определения разности фаз двух колебаний надо в обоих случаях колеблющуюся величину выразить через одну и ту же тригонометрическую функцию - косинус или синус.
1. Какие колебания называют гармоническими!
2. Как связаны ускорение и координата при гармонических колебаниях!
3. Как связаны циклическая частота колебаний и период колебаний!
4. Почему частота колебаний тела, прикрепленного к пружине, зависит от его массы, а частота колебаний математического маятника от массы не зависит!
5. Каковы амплитуды и периоды трех различных гармонических колебаний, графики которых представлены на рисунках 3.8, 3.9!
Фа́за колеба́ний полная - аргумент периодической функции, описывающей колебательный или волновой процесс.
Фаза колебаний начальная - значение фазы колебаний (полной) в начальный момент времени, т.е. при t = 0 (для колебательного процесса), а также в начальный момент времени в начале системы координат, т.е. при t = 0 в точке (x , y , z ) = 0 (для волнового процесса).
Фаза колебания (в электротехнике) - аргумент синусоидальной функции (напряжения, тока), отсчитываемый от точки перехода значения через нуль к положительному значению.
Фаза колебания - гармоническое колебание ( φ ) .
Величину φ, стоящую под знаком функции косинуса или синуса, называют фазой колебаний , описываемой этой функцией.
φ = ω៰ t
Как правило, о фазе говорят применительно к гармоническим колебаниям или монохроматическим волнам. При описании величины, испытывающей гармонические колебания, используется, например, одно из выражений:
A cos (ω t + φ 0) {\displaystyle A\cos(\omega t+\varphi _{0})} , A sin (ω t + φ 0) {\displaystyle A\sin(\omega t+\varphi _{0})} , A e i (ω t + φ 0) {\displaystyle Ae^{i(\omega t+\varphi _{0})}} .Аналогично, при описании волны, распространяющейся в одномерном пространстве, например, используются выражения вида:
A cos (k x − ω t + φ 0) {\displaystyle A\cos(kx-\omega t+\varphi _{0})} , A sin (k x − ω t + φ 0) {\displaystyle A\sin(kx-\omega t+\varphi _{0})} , A e i (k x − ω t + φ 0) {\displaystyle Ae^{i(kx-\omega t+\varphi _{0})}} ,для волны в пространстве любой размерности (например, в трехмерном пространстве):
A cos (k ⋅ r − ω t + φ 0) {\displaystyle A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{0})} , A sin (k ⋅ r − ω t + φ 0) {\displaystyle A\sin(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{0})} , A e i (k ⋅ r − ω t + φ 0) {\displaystyle Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{0})}} .Фаза колебаний (полная) в этих выражениях - аргумент функции, т.е. выражение, записанное в скобках; фаза колебаний начальная - величина φ 0 , являющаяся одним из слагаемых полной фазы. Говоря о полной фазе, слово полная часто опускают.
Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут различаться фазами. Так как ω៰ = 2π/Т , то φ = ω៰t = 2π t/Т.
Отношение t/Т указывает, сколько периодов прошло от момента начала колебаний. Любому значению времени t , выраженному в числе периодов Т , соответствует значение фазы φ , выраженное в радианах. Так, по прошествии времени t = Т/4 (четверти периода) φ=π/2 , по прошествии половины периода φ = π/2 , по прошествии целого периода φ=2 π и т.д.
Поскольку функции sin(…) и cos(…) совпадают друг с другом при сдвиге аргумента (то есть фазы) на π / 2 , {\displaystyle \pi /2,} то во избежание путаницы лучше пользоваться для определения фазы только одной из этих двух функций, а не той и другой одновременно. По обычному соглашению фазой считают аргумент косинуса , а не синуса .
То есть, для колебательного процесса (см. выше) фаза (полная)
φ = ω t + φ 0 {\displaystyle \varphi =\omega t+\varphi _{0}} ,для волны в одномерном пространстве
φ = k x − ω t + φ 0 {\displaystyle \varphi =kx-\omega t+\varphi _{0}} ,для волны в трехмерном пространстве или пространстве любой другой размерности:
φ = k r − ω t + φ 0 {\displaystyle \varphi =\mathbf {k} \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{0}} ,где ω {\displaystyle \omega } - угловая частота (величина, показывающая, на сколько радиан или градусов изменится фаза за 1 с; чем величина выше, тем быстрее растет фаза с течением времени); t - время ; φ 0 {\displaystyle \varphi _{0}} - начальная фаза (то есть фаза при t = 0); k - волновое число ; x - координата точки наблюдения волнового процесса в одномерном пространстве; k - волновой вектор ; r - радиус-вектор точки в пространстве (набор координат, например, декартовых).
В приведенных выше выражениях фаза имеет размерность угловых единиц (радианы , градусы). Фазу колебательного процесса по аналогии с механическим вращательным также выражают в циклах , то есть долях периода повторяющегося процесса:
1 цикл = 2 π {\displaystyle \pi } радиан = 360 градусов.
В аналитических выражениях (в формулах) преимущественно (и по умолчанию) используется представление фазы в радианах, представление в градусах также встречается достаточно часто (по-видимому, как предельно явное и не приводящее к путанице, поскольку знак градуса не принято никогда опускать ни в устной речи, ни в записях). Указание фазы в циклах или периодах (за исключением словесных формулировок) в технике сравнительно редко.
Иногда (в квазиклассическом приближении , где используются квазимонохроматические волны, т.е. близкие к монохроматическим, но не строго монохроматические) а также в формализме интеграла по траекториям , где волны могут быть и далекими от монохроматических, хотя всё же подобны монохроматическим) рассматривается фаза, являющаяся нелинейной функцией времени t и пространственных координат r , в принципе - произвольная функция .
4 Кинематическая связь между круговым движением и гармоническим колебательным движением. Пусть точка движется по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью ω. Тогда проекция x-радиус – вектора этой точки на горизонтальную ось OX (рис.11, а) выразится так:
Но α = ωt. Поэтому:
Это значит, что проекция точки, движущейся по окружности, на ось OX совершает гармонические колебания с амплитудой x m = R и циклической частотой ω. Это используется в так называемом кулисном механизме, предназначенном для преобразования вращательного движения в колебательное. Рассмотрим устройство кулисного механизма на простейшей его модели (рис.11б). На оси электродвигателя 1 укреплён кривошип 2, а на кривошипе – палец 3. При работе двигателя палец движется по окружности радиуса R. Палец вставлен в прорезь кулисы 4, которая может двигаться по направляющим 5. Поэтому палец давит на кулису и заставляет её смещаться то
вправо, то влево. Кулиса приходит в колебательное движение. Колебания кулисы – гармонические, так как прорезь в кулисе как бы проецирует движение пальца на горизонтальную ось.
Фаза колебаний. Разность фаз
1 Понятие фазы колебаний. Так как амплитудные значения смещения (x m), скорости (υ m) и ускорения(a m) при гармонических колебаниях постоянны, то мгновенные значения этих величин, как видно из формул смещения, скорости и ускорения, определяются значением аргумента
называемого фазой колебаний.
Таким образом, фазой колебания называется физическая величина, определяющая (при данной амплитуде) мгновенные значения смещения, скорости и ускорения.
Из формулы
x = x m sin ω 0 t
видно, что при t = 0 смещение x также равно нулю. Но всегда ли будет так?
Допустим для конкретности, что мы наблюдаем движение кулисного механизма, отсчитывая время по положению стрелки секундомера. В этом случае момент t= 0 есть момент пуска секундомера. Запись «x = 0 при t= 0» означает, что секундомер был пущен в один из тех моментов, когда кулиса находилась в среднем (нулевом) положении (рис. 12, а). В этом случае
x = x m sin ω 0 t
Предположим теперь, что секундомер был включен тогда, когда кулиса уже сместилась на расстояние x’ (рис. 12, б). В этом случае смещение кулисы через промежуток времени t, отмеченный секундомером, определится формулой
x = x m sin ω 0 (t + t ")
где t " – время, необходимое на смещение кулисы на величину x’.
 |
Преобразуем эту формулу
x = x m sin (ω 0 t + ω 0 t "),
x = x m sin (ω 0 t + φ 0),
где φ 0 = ω 0 t- начальная фаза колебаний. Мы видим, что начальная фаза зависит от выбора начала отсчёта времени. Если начало отсчёта времени ведётся с момента, когда смещение равно нулю(x = 0), то начальная фаза равна нулю. Изменение мгновенного значения
смещения в этом случае описывается формулой
x = x m sin ω 0 t
Если же за начало отсчёта времени берётся момент, когда изменяющееся смещение достигло наибольшего значения x = x m , то начальная фаза равна π/2 и изменение мгновенного значения смещения описывается формулой
x = x m sin (ω 0 t + ) = x m sin ω 0 t
2 Разность фаз двух гармонических колебаний. Возьмём два одинаковых маятника. Подтолкнув маятники в разные моменты времени t 1 и t 2 , запишем осциллограммы их колебаний (рисунок 13). Анализ осциллограмм показывает, что колебания маятников имеют одинаковую частоту, но не совпадают по фазе. Колебания первого маятника опережают колебания второго маятника на одну и ту же постоянную величину.
Уравнения колебаний маятников запишутся так:
x 1 = x m sin (ω 0 t + φ 1),
x 2 = x m sin (ω 0 t + φ 2)
Величина φ 1 -φ 2 – называется разностью фаз или сдвигом фаз.
 |
Из осциллограммы видно, что перенос начала отсчёта времени не изменяет разности фаз. Следовательно, разность фаз гармонических колебательных движений, имеющих одинаковую частоту, не зависит от выбора начала отсчёта времени. На рисунке 14 представлены графики смещения, скорости и ускорения для одного и того же гармонически колеблющегося тела. Как видно из рисунка, колебания этих величин происходят с различными начальными фазами.
Понятие о фазе и тем более о сдвиге фаз трудно усваивается учащимися. Фаза - это физическая величина, характеризующая колебание в определенный момент времени. Состояние колебания в соответствии с формулой можно охарактеризовать, например, отклонением точки от положения равновесия. Так как при заданных значениях значение однозначно определяется величиной угла фазой в уравнениях колебательного движения обычно называют значение угла
Время может быть измерено в долях периода. Следовательно, фаза пропорциональна доле периода, прошедшего от начала колебания. Поэтому фазой колебаний называют также величину, измеряемую долей периода, прошедшей от начала колебаний.
Задачи на сложение гармонических колебательных движений решают преимущественно графически с постепенным усложнением условий. Сначала складывают колебания, отличающиеся только по амплитуде, затем - по амплитуде и начальной фазе, и, наконец, колебания, имеющие различные амплитуды, фазы и периоды колебаний.
Все эти задачи единообразны и не сложны по методике решения, но требуют тщательного и кропотливого выполнения чертежей. Для облегчения трудоемкой работы по составлению таблиц и вычерчиванию синусоид целесообразно заготовить их шаблоны в виде прорезей в картоне или жести. На одном трафарете может быть сделано три-четыре синусоиды. Это приспособление позволяет сосредоточить внимание учащихся именно на сложении колебаний и взаимном расположении синусоид, а не на их вычерчивании. Однако, прибегая к такому вспомогательному приему, учитель должен быть уверен в том, что учащиеся уже умеют вычерчивать графики синусоид и косинусоид. Особое внимание нужно обратить на сложение колебаний с одинаковым периодом и фазами, что подведет учащихся к понятию о резонансе.
Используя знания учащихся по математике, следует также решить ряд задач на сложение гармонических колебаний аналитическим методом. При этом представляют интерес следующие случаи:
1) Сложение двух колебаний с одинаковыми периодами и фазами:
Амплитуды колебаний могут быть как одинаковыми, так и различными.
2) Сложение двух колебаний с одинаковыми периодами, но разными амплитудами и фазами. В общем виде сложение таких колебаний дает результирующее смещение:
а значение определяется из формулы
В средней школе со всеми учащимися нет необходимости решать эту задачу в таком общем виде. Вполне достаточно рассмотреть частный случай, когда и разность фаз или
Это сделает задачу (см. № 771) вполне доступной и не помешает получить из нее важные выводы о колебаниях, которые получаются при сложении двух гармонических колебаний, имеющих одинаковые периоды, но различные фазы.
766. В одинаковых или различных фазах находятся крылья летающей птицы? руки человека при ходьбе? две щепки, попавшие на гребень и впадину волны от теплохода.
Решение. Условившись о начале отсчета, а также о положительном и отрицательном (например, влево и вниз) направлении движения, заключаем, что крылья летящей птицы движутся одинаково и в одну сторону, они находятся в одной фазе; руки человека, а также щепки отклонились от положения равновесия на одинаковое расстояние, но движутся в противоположные стороны - они находятся в различных, как говорят, «противоположных», фазах.
767(э). Подвесьте два одинаковых маятника и приведите их в колебания, отклонив в разные стороны на одинаковое расстояние. Какова разность фаз данных колебаний? Уменьшается ли она со временем?
Решение. Движения маятников описываются уравнениями:
или в общем случае где целое число. Разность фаз для данных движений
со временем не изменяется.
768(э). Проделайте опыт, аналогичный предыдущему, взяв маятники разной длины. Может ли наступить момент, когда маятники
будут двигаться в одном направлении? Подсчитайте, когда это наступит для взятых вами маятников.
Решение. Движения отличаются фазой и периодом колебаний
Маятники будут двигаться в одном направлении, когда их фазы станут одинаковыми: откуда
769. На рисунке 239 даны графики четырех колебательных движений. Определите начальную фазу каждого колебательного движения и сдвиг фаз для колебаний I и II, I и III, I и IV; II и III, II и IV; III и IV .
Решение 1. Представим себе, что на графиках показано колебание четырех маятников в момент Когда маятник I начал колебание, маятник II уже отклонился в крайнее положение, маятник III вернулся в положение равновесия, а маятник IV отклонился до конца в противоположную сторону. Из этих рассуждений следует, что разность фаз
Решение 2. Все колебания гармонические, и потому их можно описать уравнением
Рассмотрим все колебания в какой-либо определенный момент времени, например При этом примем во внимание, что знак х определяется знаком тригонометрической функции. Значение же А берется по абсолютной величине, т. е. положительным.
I. ; так как в последующие моменты времени следовательно, поэтому
III. ; так как в последующие моменты времени следовательно,
Произведя соответствующие вычисления, получим тот же результат, что и при первом решении:
Несмотря на некоторую громоздкость второго решения, им надо воспользоваться для формирования у учащихся навыков в применении уравнения гармонического колебательного движения.
770. Сложите два колебательных движения с одинаковыми периодами и фазами, если амплитуда одного колебания см, а второго см. Какую амплитуду будет иметь результирующее колебательное движение?
Решение 1. Вычерчивают синусоиды колебаний I и II (рис. 240).
При построении синусоид по таблицам достаточно взять 9 характерных значений фазы: 0°, 45°, 90° и т. д. Амплитуду результирующего колебания находят для тех же фаз, как сумму амплитуд первого и второго колебаний (график III).
Решение 2.
Следовательно, амплитуда результирующего колебания см, и колебание совершается по закону Пользуясь тригонометрическими таблицами, по данной формуле строят синусоиду результирующего колебания.
771. Сложите два колебания с одинаковыми периодами и амплитудами, если они: не отличаются по фазе; имеют разность фаз отличаются по фазе на
Решение 1.
Первый случай вполне аналогичен тому, который рассмотрен в предыдущей задаче и не требует особых пояснений.
Для второго случая сложение колебаний показано на рисунке 241, а.
Сложение колебаний, отличающихся по фазе на показано на рисунке 241, б.
Решение 2. Для каждого случая выведем уравнение результирующего колебания.
Результирующее колебание имеет ту же частоту и вдвое большую амплитуду.
Для второго и третьего случая можно записать следующее уравнение:
где разность фаз между двумя колебаниями.
При уравнение принимает вид
Как видно из этой формулы, при сложении двух гармонических колебаний одного периода, отличающихся по фазе, получается гармоническое колебание того же периода, но с иной, чем у слагаемых колебаний, амплитудой и начальной фазой.
При Следовательно, результат сложения существенно вависит также от разности фаз. При разности фаз и равенстве амплитуд одно колебание полностью «гасит» другое.
Анализируя решения, следует также обратить внимание на то, что результирующее колебание будет иметь наибольшую амплитуду в том случае, когда разность фаз у складываемых колебаний равна нулю (резонанс).
772. Как зависит качка корабля от периода колебания волн?
Ответ. Качка будет наибольшей при совпадении периода колебаний волн с периодом собственных колебаний корабля.
773. Почему на дороге, по которой самосвалы возят из карьера камень, песок и т. д., с течением времени образуются периодически повторяющиеся углубления (вмятины)?
Ответ. Достаточно образоваться самой незначительной неровности, как кузов, имеющий определенный период колебаний, придет в движение, в результате чего при движении самосвала
будут создаваться, периодические повышенные и пониженные нагрузки на грунт, приводящие к образованию углублений (вмятин) на дороге.
774. Используя решение задачи 760, определите, при какой скорости движения наступят наибольшие вертикальные колебания вагона, если длина рельса равна
Решение. Период колебаний вагона сек.
Если с этой частотой колебаний будут совпадать удары колео на стыках, то наступит резонанс.
775. Правильно ли утверждение, что вынужденные колебания только тогда достигают значительных размеров, когда собственная частота колеблющегося тела равна частоте вынуждающей силы. Приведите примеры, поясняющие ваше утверждение.
Ответ. Резонанс может наступить и тогда, когда периодически, но не по гармоническому закону изменяющаяся сила имеет период, в целое число раз меньший собственного периода тела.
Примером могут быть периодические толчки, действующие на качели не при каждом их качании. В связи с этим следует уточнить ответ предыдущей задачи. Резонанс может наступить не только при скорости поезда но и при скорости в раз большей, где целое число.
Предыдущая статья: Лексикография типы лингвистических словарей Следующая статья: АМГ низкий – диагноз бесплодие